ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 714 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что парабола \( y = 2x^2 — 5x + 1 \) и прямая \( 2x + y + 3 = 0 \) не пересекаются.

Дано: \( y = 2x^2 — 5x + 1 \) и \( y = -2x — 3 \)

Подставим \( y = -2x — 3 \) в первое уравнение:

\( -2x — 3 = 2x^2 — 5x + 1 \)

\( 2x^2 — 5x + 1 + 2x + 3 = 0 \)

\( 2x^2 — 3x + 4 = 0 \)

Найдём дискриминант: \( D = 9 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23 < 0 \) — решений нет. Таким образом, парабола и прямая не пересекаются. Что и требовалось доказать.

Требуется доказать, что парабола \( y = 2x^2 — 5x + 1 \) и прямая \( y = -2x — 3 \) не пересекаются. Для решения этой задачи необходимо найти точки пересечения этих двух графиков, приравняв их уравнения друг к другу. Если система уравнений не имеет решений, то графики не пересекаются. Подставим выражение для \( y \) из второго уравнения в первое уравнение, получив одно уравнение с одной переменной \( x \).

Подставим \( y = -2x — 3 \) в уравнение параболы \( y = 2x^2 — 5x + 1 \). Это означает, что мы приравниваем оба выражения для \( y \): \( -2x — 3 = 2x^2 — 5x + 1 \). Теперь перенесём все члены в одну часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение в стандартной форме. Переносим левую часть в правую: \( 0 = 2x^2 — 5x + 1 + 2x + 3 \). Приводим подобные члены: \( 2x^2 + (-5x + 2x) + (1 + 3) = 0 \), что даёт нам \( 2x^2 — 3x + 4 = 0 \).

Для определения количества решений квадратного уравнения \( 2x^2 — 3x + 4 = 0 \) используем дискриминант. Формула дискриминанта имеет вид \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 2 \), \( b = -3 \) и \( c = 4 \). Подставляем значения: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 — 32 = -23 \). Поскольку дискриминант отрицателен (\( D = -23 < 0 \)), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует таких значений \( x \), при которых парабола и прямая имели бы общие точки. Когда дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, это геометрически означает, что график параболы и график прямой не пересекаются на координатной плоскости. Парабола \( y = 2x^2 - 5x + 1 \) открывается вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен, \( a = 2 > 0 \)), а прямая \( y = -2x — 3 \) имеет отрицательный наклон. Отсутствие решений означает, что прямая полностью расположена ниже параболы или полностью выше неё, но они никогда не касаются и не пересекаются. Таким образом, утверждение о том, что парабола и прямая не пересекаются, полностью доказано через анализ дискриминанта соответствующего квадратного уравнения.