ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 715 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \( k \) парабола \( y = x^2 + 1 \) и прямая \( y = kx \) имеют только одну общую точку?

Подставим \( y = kx \) в первое уравнение:

\( kx = x^2 + 1 \)

\( x^2 — kx + 1 = 0 \)

Для одной точки пересечения дискриминант должен равняться нулю:

\( D = k^2 — 4 \)

\( k^2 — 4 = 0 \)

\( k^2 = 4 \)

\( k = \pm 2 \)

Таким образом, парабола и прямая имеют только одну общую точку при \( k = \pm 2 \).

Ответ: при \( k = \pm 2 \).

Дана система уравнений, состоящая из уравнения параболы \( y = x^2 + 1 \) и уравнения прямой \( y = kx \), где \( k \) — неизвестный параметр. Необходимо найти значение параметра \( k \), при котором парабола и прямая имеют ровно одну общую точку пересечения. Для решения этой задачи используется метод подстановки, который позволяет свести систему к одному уравнению относительно переменной \( x \).

Поскольку оба выражения равны \( y \), мы можем приравнять правые части уравнений: \( kx = x^2 + 1 \). Переносим все члены в левую часть и получаем квадратное уравнение \( x^2 — kx + 1 = 0 \). Это уравнение описывает абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Количество решений этого квадратного уравнения определяет количество точек пересечения графиков. Если уравнение имеет два различных корня, то графики пересекаются в двух точках; если один корень (кратный), то в одной точке; если корней нет, то графики не пересекаются.

Для определения количества корней квадратного уравнения \( x^2 — kx + 1 = 0 \) вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -k \), \( c = 1 \). Подставляя эти значения, получаем \( D = (-k)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 — 4 \). Дискриминант определяет характер корней: если \( D > 0 \), уравнение имеет два различных действительных корня; если \( D = 0 \), уравнение имеет один корень кратности два; если \( D < 0 \), действительных корней нет. По условию задачи требуется, чтобы парабола и прямая имели ровно одну общую точку. Это происходит тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень, то есть когда дискриминант равен нулю. Устанавливаем условие \( D = 0 \) и решаем уравнение: \( k^2 - 4 = 0 \). Перенося \( -4 \) в правую часть, получаем \( k^2 = 4 \). Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим два значения: \( k = 2 \) или \( k = -2 \), что можно записать как \( k = \pm 2 \). Проверим полученные результаты. При \( k = 2 \) квадратное уравнение принимает вид \( x^2 - 2x + 1 = 0 \), что является полным квадратом: \( (x - 1)^2 = 0 \), откуда \( x = 1 \). Подставляя в уравнение прямой, получаем \( y = 2 \cdot 1 = 2 \). Проверим в уравнении параболы: \( y = 1^2 + 1 = 2 \). Точка пересечения \( (1, 2) \) принадлежит обоим графикам. При \( k = -2 \) квадратное уравнение принимает вид \( x^2 + 2x + 1 = 0 \), что также является полным квадратом: \( (x + 1)^2 = 0 \), откуда \( x = -1 \). Подставляя в уравнение прямой, получаем \( y = -2 \cdot (-1) = 2 \). Проверим в уравнении параболы: \( y = (-1)^2 + 1 = 2 \). Точка пересечения \( (-1, 2) \) также принадлежит обоим графикам. Оба значения параметра \( k \) удовлетворяют условию задачи. Таким образом, парабола \( y = x^2 + 1 \) и прямая \( y = kx \) имеют ровно одну общую точку при \( k = \pm 2 \). При этом значении параметра прямая является касательной к параболе, то есть касается её в одной точке, не пересекая её. Геометрически это означает, что прямая с угловым коэффициентом \( 2 \) касается параболы в точке \( (1, 2) \), а прямая с угловым коэффициентом \( -2 \) касается параболы в точке \( (-1, 2) \).