ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 716 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Построив схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений:

а) \( y = x^3, \quad y = 15x \);

б) \( xy = 10, \quad y = x \).

а) \( \begin{cases} y = x^3 \\ y = 15x \end{cases} \)

\( y = x^3 \) — возрастающая кубическая парабола, расположенная в первой и в третьей координатных четвертях;

\( y = 15x \) — прямая, проходящая через начало координат.

Найдём точки пересечения: \( x^3 = 15x \) \Rightarrow \( x^3 — 15x = 0 \) \Rightarrow \( x(x^2 — 15) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( x^2 = 15 \) \Rightarrow \( x = 0; \, x = \sqrt{15}; \, x = -\sqrt{15} \)

Ответ: три решения.

б) \( \begin{cases} xy = 10 \\ y = x \end{cases} \)

\( y = \frac{10}{x} \) — гипербола, расположенная в первой и в третьей координатных четвертях;

\( y = x \) — прямая, проходящая через начало координат и через точку \( (5; 5) \).

Найдём точки пересечения: \( x \cdot x = 10 \) \Rightarrow \( x^2 = 10 \) \Rightarrow \( x = \sqrt{10} \) или \( x = -\sqrt{10} \)

Ответ: два решения.

а) \( \begin{cases} y = x^3 \\ y = 15x \end{cases} \)

Для решения этой системы уравнений необходимо найти точки пересечения графиков функций \( y = x^3 \) и \( y = 15x \). Функция \( y = x^3 \) представляет собой кубическую параболу, которая является нечётной функцией и симметрична относительно начала координат. Она расположена в первой координатной четверти (где \( x > 0 \) и \( y > 0 \)) и в третьей координатной четверти (где \( x < 0 \) и \( y < 0 \)). Функция \( y = 15x \) — это линейная функция, график которой представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с угловым коэффициентом 15. Эта прямая также проходит через первую и третью координатные четверти.

В точках пересечения графиков значения функций совпадают, поэтому приравниваем их: \( x^3 = 15x \). Перенесём все члены в левую часть уравнения: \( x^3 — 15x = 0 \). Вынесем общий множитель \( x \) за скобки: \( x(x^2 — 15) = 0 \). Это произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Из первого множителя получаем \( x = 0 \). Из второго множителя решаем уравнение \( x^2 — 15 = 0 \), откуда \( x^2 = 15 \), и следовательно, \( x = \sqrt{15} \) или \( x = -\sqrt{15} \).

Таким образом, система имеет три решения. Для каждого значения \( x \) найдём соответствующее значение \( y \). При \( x = 0 \) получаем \( y = 0 \), то есть точка пересечения \( (0; 0) \). При \( x = \sqrt{15} \) получаем \( y = 15\sqrt{15} \), то есть точка \( \left(\sqrt{15}; 15\sqrt{15}\right) \). При \( x = -\sqrt{15} \) получаем \( y = -15\sqrt{15} \), то есть точка \( \left(-\sqrt{15}; -15\sqrt{15}\right) \). Графически это означает, что кубическая парабола пересекает прямую в трёх точках: в начале координат и в двух симметричных относительно начала координат точках.

б) \( \begin{cases} xy = 10 \\ y = x \end{cases} \)

Для решения этой системы уравнений нужно найти точки пересечения графиков функций \( y = \frac{10}{x} \) (гипербола) и \( y = x \) (прямая). Функция \( y = \frac{10}{x} \) является гиперболой, график которой состоит из двух ветвей. Одна ветвь расположена в первой координатной четверти, где при положительных значениях \( x \) функция принимает положительные значения. Вторая ветвь находится в третьей координатной четверти, где при отрицательных значениях \( x \) функция также принимает отрицательные значения. Функция \( y = x \) — это линейная функция, график которой представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат под углом 45 градусов к осям координат. Эта прямая также проходит через первую и третью координатные четверти, в частности через точку \( (5; 5) \).

В точках пересечения графиков оба уравнения системы выполняются одновременно. Подставим второе уравнение \( y = x \) в первое уравнение \( xy = 10 \). Получаем \( x \cdot x = 10 \), то есть \( x^2 = 10 \). Решая это квадратное уравнение, находим два корня: \( x = \sqrt{10} \) и \( x = -\sqrt{10} \). Поскольку \( y = x \), для каждого найденного значения \( x \) получаем соответствующее значение \( y \).

При \( x = \sqrt{10} \) получаем \( y = \sqrt{10} \), то есть точка пересечения \( \left(\sqrt{10}; \sqrt{10}\right) \). При \( x = -\sqrt{10} \) получаем \( y = -\sqrt{10} \), то есть точка пересечения \( \left(-\sqrt{10}; -\sqrt{10}\right) \). Таким образом, система имеет ровно два решения. Графически это означает, что прямая \( y = x \) пересекает гиперболу \( y = \frac{10}{x} \) в двух точках: одна в первой координатной четверти, а другая в третьей координатной четверти, симметричные относительно начала координат.