ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 717 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) \( 9x^2 — 100 = 0 \);

б) \( 2 = 7c^2 \);

в) \( 9m^2 — 4 = 0 \);

г) \( -0,8y^2 + 3y = 0 \).

а) \( 9x^2 — 100 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 9x^2 = 100 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 = \frac{100}{9} \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm\frac{10}{3} \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm3\frac{1}{3} \)

Ответ: \( x = \pm3\frac{1}{3} \)

б) \( 2 = 7c^2 \) \( \Rightarrow \) \( c^2 = \frac{2}{7} \) \( \Rightarrow \) \( c = \pm\sqrt{\frac{2}{7}} \)

Ответ: \( c = \pm\sqrt{\frac{2}{7}} \)

в) \( 9m^2 — 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 9m^2 = 4 \) \( \Rightarrow \) \( m^2 = \frac{4}{9} \) \( \Rightarrow \) \( m = \pm\frac{2}{3} \)

Ответ: \( m = \pm\frac{2}{3} \)

г) \( -0,8y^2 + 3y = 0 \) \( | \cdot (-5) \) \( \Rightarrow \) \( 4y^2 — 15y = 0 \) \( \Rightarrow \) \( y(4y — 15) = 0 \) \( \Rightarrow \) \( y = 0 \) или \( 4y — 15 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 4y = 15 \) \( \Rightarrow \) \( y = \frac{15}{4} \) \( \Rightarrow \) \( y = 3\frac{3}{4} \)

Ответ: \( y = 0 \) или \( y = 3\frac{3}{4} \)

а) \( 9x^2 — 100 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 9x^2 = 100 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 = \frac{100}{9} \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm\frac{10}{3} \) \( \Rightarrow \) \( x = \pm3\frac{1}{3} \)

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, так как отсутствует линейный член. Для его решения необходимо перенести свободный член в правую часть уравнения, получив \( 9x^2 = 100 \). Затем обе части уравнения делятся на коэффициент при \( x^2 \), то есть на 9, что дает \( x^2 = \frac{100}{9} \). Это означает, что переменная \( x \) в квадрате равна положительному числу \( \frac{100}{9} \).

Для нахождения самой переменной \( x \) необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. При извлечении квадратного корня из положительного числа получаются два значения: положительное и отрицательное. Таким образом, \( x = \pm\sqrt{\frac{100}{9}} = \pm\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{10}{3} \). Число \( \frac{10}{3} \) можно представить в виде смешанной дроби: \( \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \), поскольку 10 делится на 3 с остатком: \( 10 = 3 \cdot 3 + 1 \). Следовательно, уравнение имеет два решения: \( x = 3\frac{1}{3} \) и \( x = -3\frac{1}{3} \).

б) \( 2 = 7c^2 \) \( \Rightarrow \) \( c^2 = \frac{2}{7} \) \( \Rightarrow \) \( c = \pm\sqrt{\frac{2}{7}} \)

В этом уравнении переменная \( c \) находится в квадрате, и уравнение имеет форму, в которой число 2 равно произведению 7 и квадрата переменной. Для решения необходимо сначала выразить \( c^2 \), разделив обе части уравнения на 7. Получается \( c^2 = \frac{2}{7} \), что означает, что квадрат переменной \( c \) равен дроби \( \frac{2}{7} \).

Следующий шаг — извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения. Поскольку под корнем находится положительное число, существуют два решения: положительное и отрицательное. Таким образом, \( c = \pm\sqrt{\frac{2}{7}} \). Этот корень нельзя упростить дальше, так как числитель 2 и знаменатель 7 не содержат полных квадратов. Корень можно также записать в виде \( c = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} \), но обычно оставляют в форме \( c = \pm\sqrt{\frac{2}{7}} \). Оба значения \( c = \sqrt{\frac{2}{7}} \) и \( c = -\sqrt{\frac{2}{7}} \) являются корнями исходного уравнения.

в) \( 9m^2 — 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 9m^2 = 4 \) \( \Rightarrow \) \( m^2 = \frac{4}{9} \) \( \Rightarrow \) \( m = \pm\frac{2}{3} \)

Это неполное квадратное уравнение решается аналогично предыдущим примерам. Сначала переносится свободный член в правую часть: \( 9m^2 = 4 \). Затем обе части делятся на коэффициент 9, что дает \( m^2 = \frac{4}{9} \). На этом этапе мы получили, что квадрат переменной \( m \) равен дроби \( \frac{4}{9} \), которая представляет собой отношение двух полных квадратов: \( 4 = 2^2 \) и \( 9 = 3^2 \).

Для нахождения самой переменной \( m \) извлекается квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку под корнем находится положительное число, получаются два решения: \( m = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{2}{3} \). Оба корня \( m = \frac{2}{3} \) и \( m = -\frac{2}{3} \) являются решениями уравнения, так как при подстановке каждого из них в исходное уравнение получается верное равенство: \( 9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 — 4 = 9 \cdot \frac{4}{9} — 4 = 4 — 4 = 0 \).

г) \( -0,8y^2 + 3y = 0 \) \( | \cdot (-5) \) \( \Rightarrow \) \( 4y^2 — 15y = 0 \) \( \Rightarrow \) \( y(4y — 15) = 0 \) \( \Rightarrow \) \( y = 0 \) или \( 4y — 15 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 4y = 15 \) \( \Rightarrow \) \( y = \frac{15}{4} \) \( \Rightarrow \) \( y = 3\frac{3}{4} \)

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, так как отсутствует свободный член. Исходное уравнение содержит десятичные коэффициенты, что усложняет вычисления. Для упрощения обе части уравнения умножаются на \( -5 \), что позволяет избавиться от десятичных дробей и отрицательного коэффициента при \( y^2 \). При умножении \( -0,8y^2 \) на \( -5 \) получается \( 4y^2 \), а при умножении \( 3y \) на \( -5 \) получается \( -15y \). Таким образом, уравнение принимает вид \( 4y^2 — 15y = 0 \).

Полученное уравнение решается методом вынесения общего множителя. Оба члена уравнения содержат переменную \( y \), поэтому она выносится за скобки: \( y(4y — 15) = 0 \). Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, либо \( y = 0 \), либо \( 4y — 15 = 0 \). Первое решение \( y = 0 \) получается сразу. Для нахождения второго решения решается линейное уравнение \( 4y — 15 = 0 \), откуда \( 4y = 15 \) и \( y = \frac{15}{4} \).

Число \( \frac{15}{4} \) можно представить в виде смешанной дроби для более удобного представления результата. Для этого 15 делится на 4: \( 15 = 4 \cdot 3 + 3 \), поэтому \( \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \). Таким образом, исходное уравнение имеет два решения: \( y = 0 \) и \( y = 3\frac{3}{4} \). Оба значения можно проверить подстановкой в исходное уравнение: при \( y = 0 \) получается \( -0,8 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 \), что верно, а при \( y = 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4} \) получается \( -0,8 \cdot \left(\frac{15}{4}\right)^2 + 3 \cdot \frac{15}{4} = -0,8 \cdot \frac{225}{16} + \frac{45}{4} = -\frac{180}{16} + \frac{180}{16} = 0 \), что также верно.