Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 718 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
При каких значениях \( x \):
а) трёхчлен \( -x^2 — 2x + 168 \) принимает положительные значения;
б) трёхчлен \( 15x^2 + x — 2 \) принимает отрицательные значения;
в) дробь \( \frac{x + 14}{3 — 2x} \) принимает отрицательные значения;
г) дробь \( \frac{6 — 5x}{x + 25} \) принимает положительные значения?
а) \( y = -x^2 — 2x + 168 \) — парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем нули функции: \( -x^2 — 2x + 168 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + 2x — 168 = 0 \).
\( D = 4 + 4 \cdot 168 = 4 + 672 = 676 = 26^2 \).
\( x_1 = \frac{-2 — 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \); \( x_2 = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).
Таким образом, трехчлен принимает положительные значения при \( x \in (-14; 12) \).
Ответ: при \( x \in (-14; 12) \).
б) \( y = 15x^2 + x — 2 \) — парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем нули функции: \( 15x^2 + x — 2 = 0 \).
\( D = 1 + 4 \cdot 15 \cdot 2 = 1 + 120 = 121 = 11^2 \).
\( x_1 = \frac{-1 — 11}{2 \cdot 15} = \frac{-12}{30} = -0{,}4 \); \( x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \).
Таким образом, трехчлен принимает отрицательные значения при \( x \in \left(-0{,}4; \frac{1}{3}\right) \).
Ответ: при \( x \in \left(-0{,}4; \frac{1}{3}\right) \).
в) Дробь \( \frac{x + 14}{3 — 2x} \) принимает отрицательные значения, если числитель и знаменатель имеют разные знаки:
\( \begin{cases} x + 14 > 0 \\ 3 — 2x < 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x > -14 \\ 2x > 3 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x > -14 \\ x > 1{,}5 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( x > 1{,}5 \);
\( \begin{cases} x + 14 < 0 \\ 3 - 2x > 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x < -14 \\ 2x < 3 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x < -14 \\ x < 1{,}5 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( x < -14 \). Таким образом, данная дробь принимает отрицательные значения при \( x < -14 \) и при \( x > 1{,}5 \).
Ответ: при \( x \in (-\infty; -14) \) и \( x \in (1{,}5; +\infty) \).
г) Дробь \( \frac{6 — 5x}{x + 25} \) принимает положительные значения, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки:
\( \begin{cases} 6 — 5x > 0 \\ x + 25 > 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 5x < 6 \\ x > -25 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x < 1{,}2 \\ x > -25 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( x \in (-25; 1{,}2) \);
\( \begin{cases} 6 — 5x < 0 \\ x + 25 < 0 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 5x > 6 \\ x < -25 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x > 1{,}2 \\ x < -25 \end{cases} \) — решений нет. Таким образом, данная дробь принимает положительные значения при \( x \in (-25; 1{,}2) \). Ответ: при \( x \in (-25; 1{,}2) \).
а) \( y = -x^2 — 2x + 168 \) — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный. Для определения промежутков, где функция принимает положительные значения, необходимо найти нули функции, то есть точки пересечения параболы с осью абсцисс. Приравняем функцию к нулю: \( -x^2 — 2x + 168 = 0 \). Умножим обе части уравнения на \( -1 \), чтобы упростить вычисления: \( x^2 + 2x — 168 = 0 \).
Для решения квадратного уравнения применим формулу дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -168 \). Подставляем значения: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676 = 26^2 \). Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня. Корни находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Вычислим первый корень: \( x_1 = \frac{-2 — 26}{2 \cdot 1} = \frac{-28}{2} = -14 \). Вычислим второй корень: \( x_2 = \frac{-2 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12 \).
Поскольку парабола имеет ветви, направленные вниз, и пересекает ось абсцисс в точках \( x = -14 \) и \( x = 12 \), функция принимает положительные значения между этими корнями. На интервалах \( (-\infty; -14) \) и \( (12; +\infty) \) функция отрицательна, а на интервале \( (-14; 12) \) функция положительна. Таким образом, трехчлен принимает положительные значения при \( x \in (-14; 12) \).
б) \( y = 15x^2 + x — 2 \) — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный и равен 15. Для нахождения промежутков, где функция принимает отрицательные значения, найдем нули функции. Приравняем функцию к нулю: \( 15x^2 + x — 2 = 0 \). Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 15 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \). Подставляем: \( D = 1^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121 = 11^2 \). Дискриминант положительный, следовательно, уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-1 — 11}{2 \cdot 15} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5} = -0{,}4 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 15} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \). Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в точках \( x = -0{,}4 \) и \( x = \frac{1}{3} \).
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция отрицательна только между корнями. На интервалах \( (-\infty; -0{,}4) \) и \( \left(\frac{1}{3}; +\infty\right) \) функция положительна, а на интервале \( \left(-0{,}4; \frac{1}{3}\right) \) функция отрицательна. Следовательно, трехчлен принимает отрицательные значения при \( x \in \left(-0{,}4; \frac{1}{3}\right) \).
в) Дробь \( \frac{x + 14}{3 — 2x} \) принимает отрицательные значения в том случае, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Это означает, что либо числитель положительный, а знаменатель отрицательный, либо числитель отрицательный, а знаменатель положительный. Рассмотрим первый случай, когда \( x + 14 > 0 \) и одновременно \( 3 — 2x < 0 \). Из первого условия получаем \( x > -14 \). Из второго условия: \( 3 — 2x < 0 \) \( \Rightarrow \) \( -2x < -3 \) \( \Rightarrow \) \( 2x > 3 \) \( \Rightarrow \) \( x > 1{,}5 \). Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому нужно найти пересечение: \( x > -14 \) и \( x > 1{,}5 \). Пересечение этих условий дает \( x > 1{,}5 \).
Рассмотрим второй случай, когда \( x + 14 < 0 \) и одновременно \( 3 - 2x > 0 \). Из первого условия получаем \( x < -14 \). Из второго условия: \( 3 - 2x > 0 \) \( \Rightarrow \) \( -2x > -3 \) \( \Rightarrow \) \( 2x < 3 \) \( \Rightarrow \) \( x < 1{,}5 \). Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому нужно найти пересечение: \( x < -14 \) и \( x < 1{,}5 \). Пересечение этих условий дает \( x < -14 \), так как это более строгое ограничение. Объединяя оба случая, получаем, что дробь принимает отрицательные значения при \( x < -14 \) или при \( x > 1{,}5 \). Важно отметить, что точки \( x = -14 \) и \( x = 1{,}5 \) не включаются в решение, так как в этих точках либо числитель равен нулю (при \( x = -14 \)), либо знаменатель равен нулю (при \( x = 1{,}5 \)), и дробь не определена или равна нулю. Таким образом, дробь принимает отрицательные значения при \( x \in (-\infty; -14) \cup (1{,}5; +\infty) \).
г) Дробь \( \frac{6 — 5x}{x + 25} \) принимает положительные значения в том случае, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это означает, что либо оба положительны, либо оба отрицательны. Рассмотрим первый случай, когда \( 6 — 5x > 0 \) и одновременно \( x + 25 > 0 \). Из первого условия: \( 6 — 5x > 0 \) \( \Rightarrow \) \( -5x > -6 \) \( \Rightarrow \) \( 5x < 6 \) \( \Rightarrow \) \( x < 1{,}2 \). Из второго условия получаем \( x > -25 \). Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому нужно найти пересечение: \( x < 1{,}2 \) и \( x > -25 \). Пересечение этих условий дает \( -25 < x < 1{,}2 \), или в интервальной записи \( x \in (-25; 1{,}2) \). Рассмотрим второй случай, когда \( 6 - 5x < 0 \) и одновременно \( x + 25 < 0 \). Из первого условия: \( 6 - 5x < 0 \) \( \Rightarrow \) \( -5x < -6 \) \( \Rightarrow \) \( 5x > 6 \) \( \Rightarrow \) \( x > 1{,}2 \). Из второго условия получаем \( x < -25 \). Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому нужно найти пересечение: \( x > 1{,}2 \) и \( x < -25 \). Однако эти два условия несовместимы, так как не существует числа, которое одновременно больше 1,2 и меньше -25. Следовательно, второй случай решений не дает. Объединяя оба случая, получаем, что дробь принимает положительные значения только при \( x \in (-25; 1{,}2) \). Точки \( x = -25 \) и \( x = 1{,}2 \) не включаются в решение, так как при \( x = -25 \) знаменатель равен нулю и дробь не определена, а при \( x = 1{,}2 \) числитель равен нулю и дробь равна нулю, что не является положительным значением. Таким образом, дробь принимает положительные значения при \( x \in (-25; 1{,}2) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!