ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 723 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Теплоход проходит за 4 ч по течению такое же расстояние, какое за 5 часов против течения. Найдите скорость течения, если она меньше собственной скорости теплохода на 40 км/ч.

Пусть собственная скорость теплохода равна \( x \) км/ч, а скорость течения реки — \( y \) км/ч.

Скорость теплохода по течению реки равна \( (x + y) \) км/ч, а против течения реки — \( (x — y) \) км/ч. За 4 ч по течению реки теплоход проходит \( 4(x + y) \) км, а за 5 ч против течения — \( 5(x — y) \) км. Тогда по условию \( 4(x + y) = 5(x — y) \).

Известно, что скорость течения меньше собственной скорости теплохода на 40 км/ч, тогда: \( x — y = 40 \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 4(x + y) = 5(x — y) \\ x — y = 40 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 4x + 4y = 5x — 5y \\ x — y = 40 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 5x — 5y — 4x — 4y = 0 \\ x — y = 40 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x — 9y = 0 \\ x — y = 40 \end{cases} \)

Вычтем из второго уравнения первое:

\( 8y = 40 \)

\( y = 5 \) (км/ч) — скорость течения реки.

Ответ: 5 км/ч.

Обозначим собственную скорость теплохода через \( x \) км/ч, а скорость течения реки через \( y \) км/ч. При движении по течению реки скорость теплохода увеличивается на величину скорости течения, поэтому его скорость становится равной \( (x + y) \) км/ч. При движении против течения скорость теплохода уменьшается на величину скорости течения, и его скорость составляет \( (x — y) \) км/ч. Эти соотношения являются основой для составления уравнений задачи, так как они связывают собственную скорость судна со скоростями его движения в разных направлениях относительно течения.

По условию задачи теплоход за 4 часа по течению реки проходит расстояние, равное \( 4(x + y) \) км, а за 5 часов против течения проходит расстояние, равное \( 5(x — y) \) км. Согласно условию задачи эти расстояния равны между собой, что позволяет нам составить первое уравнение системы: \( 4(x + y) = 5(x — y) \). Это уравнение выражает тот факт, что за разные промежутки времени (4 часа и 5 часов) теплоход преодолевает одинаковые расстояния, двигаясь в противоположных направлениях относительно течения реки.

Второе условие задачи гласит, что скорость течения реки меньше собственной скорости теплохода на 40 км/ч. Это означает, что разность между собственной скоростью теплохода и скоростью течения составляет ровно 40 км/ч, что записывается уравнением \( x — y = 40 \). Таким образом, мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными, которая позволяет найти как собственную скорость теплохода, так и скорость течения реки.

Раскроем скобки в первом уравнении системы. Из условия \( 4(x + y) = 5(x — y) \) получаем \( 4x + 4y = 5x — 5y \). Перенесём все члены, содержащие переменные, в левую часть уравнения: \( 4x + 4y — 5x + 5y = 0 \), что упрощается до \( -x + 9y = 0 \) или эквивалентно \( x — 9y = 0 \). Таким образом, первое уравнение принимает вид \( x = 9y \), что показывает прямую зависимость между собственной скоростью теплохода и скоростью течения реки.

Теперь у нас имеется система из двух уравнений: \( \begin{cases} x — 9y = 0 \\ x — y = 40 \end{cases} \). Для решения этой системы вычтем второе уравнение из первого. При вычитании получаем: \( (x — 9y) — (x — y) = 0 — 40 \), что дает \( x — 9y — x + y = -40 \), откуда следует \( -8y = -40 \). Разделив обе части уравнения на \( -8 \), получаем \( y = 5 \) км/ч. Это значение представляет скорость течения реки, которая является искомой величиной в задаче.

Проведём проверку полученного результата, подставив \( y = 5 \) км/ч во второе уравнение системы. Из условия \( x — y = 40 \) получаем \( x — 5 = 40 \), откуда \( x = 45 \) км/ч. Проверим, удовлетворяет ли эта пара значений первому уравнению: \( 4(45 + 5) = 4 \cdot 50 = 200 \) км и \( 5(45 — 5) = 5 \cdot 40 = 200 \) км. Оба расстояния равны 200 км, что подтверждает правильность нашего решения. Кроме того, проверим второе условие: \( 45 — 5 = 40 \) км/ч, что соответствует условию задачи о том, что скорость течения меньше собственной скорости теплохода на 40 км/ч.

Таким образом, скорость течения реки составляет 5 км/ч, а собственная скорость теплохода равна 45 км/ч. Ответ на поставленный вопрос задачи: скорость течения реки равна 5 км/ч.