ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 724 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

В кошельке лежало 92 рубля мелочи — пятирублёвые и двухрублёвые монеты. Сколько пятирублёвых и сколько двухрублёвых монет было в кошельке, если всего было 28 монет?

Пусть в кошельке было \( x \) пятирублевых и \( y \) двухрублевых монет. Тогда по условию \( x + y = 28 \).

Пятирублевыми монетами было \( 5x \) р., а двухрублевыми монетами было \( 2y \) р. Всего было 92 р. мелочи. Значит: \( 5x + 2y = 92 \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 28 \\ 5x + 2y = 92 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x = 28 — y \\ 5x + 2y = 92 \end{cases} \)

Подставим \( x = 28 — y \) во второе уравнение:

\( 5(28 — y) + 2y = 92 \)

\( 140 — 5y + 2y = 92 \)

\( -3y = 92 — 140 \)

\( -3y = -48 \)

\( y = 16 \) — двухрублевых монет было в кошельке.

\( x = 28 — y = 28 — 16 = 12 \) — пятирублевых монет было в кошельке.

Ответ: 12 пятирублевых монет и 16 двухрублевых монет.

Рассмотрим задачу о монетах в кошельке. Обозначим через \( x \) количество пятирублевых монет, а через \( y \) количество двухрублевых монет. По условию задачи известно, что всего в кошельке было 28 монет, поэтому первое уравнение имеет вид \( x + y = 28 \). Это уравнение отражает тот факт, что сумма количеств обоих типов монет равна общему числу монет в кошельке.

Второе условие задачи касается общей стоимости денег в кошельке. Пятирублевые монеты дают в сумме \( 5x \) рублей, а двухрублевые монеты дают в сумме \( 2y \) рублей. По условию всего было 92 рубля мелочи, поэтому второе уравнение записывается как \( 5x + 2y = 92 \). Это уравнение связывает стоимость каждого типа монет с общей суммой денег в кошельке. Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения \( x + y = 28 \) выражаем переменную \( x \) через \( y \): \( x = 28 — y \). Это выражение показывает, что количество пятирублевых монет зависит от количества двухрублевых монет и равно разности между общим числом монет и числом двухрублевых монет. Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы вместо переменной \( x \).

Подставляя \( x = 28 — y \) в уравнение \( 5x + 2y = 92 \), получаем \( 5(28 — y) + 2y = 92 \). Раскроем скобки, умножив 5 на каждый член в скобках: \( 140 — 5y + 2y = 92 \). Приведем подобные члены, содержащие переменную \( y \): \( 140 — 3y = 92 \). Это уравнение содержит только одну неизвестную, что позволяет нам найти её значение.

Решаем полученное уравнение относительно \( y \). Перенесем число 140 в правую часть уравнения, изменив его знак: \( -3y = 92 — 140 \). Вычислим правую часть: \( -3y = -48 \). Разделим обе части уравнения на коэффициент при \( y \), то есть на \( -3 \): \( y = \frac{-48}{-3} = 16 \). Таким образом, в кошельке было 16 двухрублевых монет. Это значение показывает количество монет номиналом 2 рубля, которые находились в кошельке.

Теперь найдем количество пятирублевых монет, используя выражение \( x = 28 — y \). Подставим найденное значение \( y = 16 \): \( x = 28 — 16 = 12 \). Следовательно, в кошельке было 12 пятирублевых монет. Проверим полученный результат, подставив оба значения в исходные уравнения. Для первого уравнения: \( 12 + 16 = 28 \) — верно. Для второго уравнения: \( 5 \cdot 12 + 2 \cdot 16 = 60 + 32 = 92 \) — также верно. Оба уравнения системы удовлетворяются найденными значениями, что подтверждает правильность решения.

Итоговый результат показывает, что в кошельке находилось 12 пятирублевых монет и 16 двухрублевых монет. Эти значения полностью соответствуют всем условиям задачи: общее количество монет равно 28, а их общая стоимость составляет 92 рубля. Решение системы линейных уравнений методом подстановки позволило нам однозначно определить количество каждого типа монет в кошельке.