ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 725 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

В десяти лодках может разместиться 44 человека. Часть этих лодок пятиместные, а остальные — трёхместные. Сколько пятиместных лодок?

Пусть было \( x \) пятиместных и \( y \) трехместных лодок. Тогда по условию \( x + y = 10 \).

В пятиместных лодках могут разместиться \( 5x \) человек, а в трехместных — \( 3y \) человек, тогда: \( 5x + 3y = 44 \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 10 \\ 5x + 3y = 44 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} x = 10 — y \\ 5x + 3y = 44 \end{cases} \)

Подставим \( x = 10 — y \) во второе уравнение:

\( 5(10 — y) + 3y = 44 \)

\( 50 — 5y + 3y = 44 \)

\( -2y = 44 — 50 \)

\( -2y = -6 \)

\( y = 3 \) — столько трехместных лодок.

\( x = 10 — y = 10 — 3 = 7 \) — столько пятиместных лодок.

Ответ: 7 пятиместных лодок.

Пусть было \( x \) пятиместных и \( y \) трехместных лодок. Согласно условию задачи, всего лодок было 10, поэтому составляем первое уравнение системы: \( x + y = 10 \). Это уравнение отражает тот факт, что сумма количества пятиместных и трехместных лодок равна общему числу лодок. Данное уравнение является линейным и связывает две неизвестные величины через их сумму.

В пятиместных лодках могут разместиться \( 5x \) человек, поскольку каждая пятиместная лодка вмещает ровно 5 человек, а таких лодок всего \( x \) штук. Аналогично, в трехместных лодках могут разместиться \( 3y \) человек, так как каждая трехместная лодка вмещает 3 человека, а их количество составляет \( y \) штук. По условию задачи общее количество людей, которые могут разместиться во всех лодках, равно 44, поэтому второе уравнение системы имеет вид: \( 5x + 3y = 44 \). Это уравнение показывает суммарную вместимость всех лодок.

Таким образом, мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: \( \begin{cases} x + y = 10 \\ 5x + 3y = 44 \end{cases} \). Для решения этой системы применим метод подстановки. Из первого уравнения выражаем переменную \( x \) через \( y \): \( x = 10 — y \). Это преобразование позволяет нам избавиться от одной переменной и свести систему к одному уравнению с одной неизвестной.

Подставляем полученное выражение \( x = 10 — y \) во второе уравнение системы: \( 5(10 — y) + 3y = 44 \). Раскрываем скобки, умножая 5 на каждый член в скобках: \( 50 — 5y + 3y = 44 \). Приводим подобные члены, содержащие переменную \( y \): \( 50 — 2y = 44 \). Перенесим константу 50 в правую часть уравнения, изменив её знак: \( -2y = 44 — 50 \). Выполняем вычитание: \( -2y = -6 \). Разделим обе части уравнения на коэффициент при \( y \), то есть на \( -2 \): \( y = \frac{-6}{-2} = 3 \).

Таким образом, мы определили, что трехместных лодок было 3 штуки. Теперь найдем количество пятиместных лодок, подставив найденное значение \( y = 3 \) в выражение \( x = 10 — y \): \( x = 10 — 3 = 7 \). Следовательно, пятиместных лодок было 7 штук. Проверим правильность решения, подставив оба значения в исходные уравнения: первое уравнение \( 7 + 3 = 10 \) верно, второе уравнение \( 5 \cdot 7 + 3 \cdot 3 = 35 + 9 = 44 \) также верно.

Ответ: пятиместных лодок было 7 штук, трехместных лодок было 3 штуки. Решение показывает, что система уравнений имеет единственное решение, которое удовлетворяет обоим условиям задачи. Метод подстановки позволил нам эффективно найти значения обеих переменных и убедиться в корректности полученного результата через проверку.