ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 728 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 66 см. Его длина в 10 раз больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника \( a \) см, а ширина \( b \) см. Тогда по условию \( 2(a + b) = 66 \).

Известно, что длина в 10 раз больше ширины, тогда: \( a = 10b \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 2(a + b) = 66 \\ a = 10b \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} a + b = 33 \\ a = 10b \end{cases} \)

Подставим \( a = 10b \) в первое уравнение:

\( a + b = 33 \)

\( 10b + b = 33 \)

\( 11b = 33 \)

\( b = 3 \) (см) — ширина прямоугольника.

\( a = 10b = 10 \cdot 3 = 30 \) (см) — длина прямоугольника.

Ответ: 3 см и 30 см.

Обозначим длину прямоугольника через \( a \) см, а ширину через \( b \) см. По условию задачи нам известны два важных соотношения: периметр прямоугольника равен 66 см, что дает нам уравнение \( 2(a + b) = 66 \), и длина в 10 раз больше ширины, то есть \( a = 10b \). Эти два условия позволяют нам составить систему уравнений, которая однозначно определит размеры прямоугольника. Первое уравнение связывает сумму длины и ширины с периметром, а второе устанавливает конкретное соотношение между этими величинами.

Упростим первое уравнение системы, разделив обе части на 2. Из \( 2(a + b) = 66 \) получаем \( a + b = 33 \). Теперь у нас есть система из двух уравнений: \( a + b = 33 \) и \( a = 10b \). Это система линейных уравнений, которую можно решить методом подстановки, поскольку второе уравнение уже выражает переменную \( a \) через переменную \( b \). Подставляя выражение \( a = 10b \) в первое уравнение, мы исключаем одну из переменных и получаем уравнение только с одной неизвестной.

Произведем подстановку \( a = 10b \) в уравнение \( a + b = 33 \). Получаем \( 10b + b = 33 \), что упрощается до \( 11b = 33 \). Разделив обе части уравнения на 11, находим \( b = 3 \) см. Это значение представляет ширину прямоугольника. Теперь, зная ширину, можем найти длину, подставив полученное значение в соотношение \( a = 10b \). Вычисляем: \( a = 10 \cdot 3 = 30 \) см. Таким образом, длина прямоугольника составляет 30 см.

Проверим корректность полученного решения, подставив найденные значения обратно в исходные условия. Сумма длины и ширины: \( 30 + 3 = 33 \) см, что соответствует половине периметра. Периметр: \( 2(30 + 3) = 2 \cdot 33 = 66 \) см, что совпадает с заданным условием. Соотношение длины и ширины: \( \frac{30}{3} = 10 \), что подтверждает, что длина в 10 раз больше ширины. Все условия задачи выполнены, поэтому решение является верным. Размеры прямоугольника составляют 30 см в длину и 3 см в ширину.