ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 729 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Три гантели и две гири весят 47 кг. Найдите, сколько весит гиря и сколько — гантель, если известно, что три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг.

Пусть гиря весит \( x \) кг, а гантель — \( y \) кг.

Три гантели весят \( 3y \) кг, а две гири — \( 2x \) кг; тогда: \( 3y + 2x = 47 \).

Три гири весят \( 3x \) кг, а шесть гантелей — \( 6y \) кг; тогда: \( 3x — 6y = 18 \).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 3y + 2x = 47 \\ 3x — 6y = 18 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 3y + 2x = 47 \\ x — 2y = 6 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} 2x + 3y = 47 \\ 2x — 4y = 12 \end{cases} \)

Вычтем из первого уравнения второе:

\( 7y = 35 \)

\( y = 5 \) (кг) — весит гантель.

\( 3y + 2x = 47 \)

\( 3 \cdot 5 + 2x = 47 \)

\( 15 + 2x = 47 \)

\( 2x = 47 — 15 \)

\( 2x = 32 \)

\( x = 16 \) (кг) — весит гиря.

Ответ: 16 кг и 5 кг.

Для решения этой задачи необходимо составить систему уравнений на основе условий, которые описывают соотношение между массами гирь и гантелей. Обозначим массу одной гири как \( x \) кг, а массу одной гантели как \( y \) кг. Из условия задачи известно, что три гантели и две гири вместе весят 47 кг, что дает нам первое уравнение: \( 3y + 2x = 47 \). Второе условие гласит, что три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг, следовательно, получаем второе уравнение: \( 3x — 6y = 18 \). Таким образом, имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую необходимо решить методом исключения переменных или подстановки.

Для упрощения системы уравнений преобразуем второе уравнение, разделив обе его части на 3. Это дает нам \( x — 2y = 6 \), что существенно упрощает дальнейшие вычисления. Теперь система принимает вид: \( 3y + 2x = 47 \) и \( x — 2y = 6 \). Чтобы исключить переменную \( x \), умножим второе уравнение на 2, получая \( 2x — 4y = 12 \). Таким образом, система преобразуется к виду: \( 2x + 3y = 47 \) и \( 2x — 4y = 12 \). Эта форма записи удобна для применения метода вычитания, так как коэффициент при \( x \) в обоих уравнениях одинаков и равен 2.

Вычитаем второе уравнение из первого: \( (2x + 3y) — (2x — 4y) = 47 — 12 \). При вычитании переменная \( x \) исключается, и мы получаем \( 3y + 4y = 35 \), откуда следует \( 7y = 35 \). Разделив обе части на 7, находим \( y = 5 \) кг. Это означает, что каждая гантель весит ровно 5 килограммов. Теперь, подставляя найденное значение \( y \) в первое исходное уравнение \( 3y + 2x = 47 \), получаем \( 3 \cdot 5 + 2x = 47 \), что упрощается до \( 15 + 2x = 47 \).

Из уравнения \( 15 + 2x = 47 \) выражаем \( 2x = 47 — 15 \), откуда \( 2x = 32 \). Разделив обе части на 2, получаем \( x = 16 \) кг. Таким образом, каждая гиря весит 16 килограммов. Для проверки корректности решения подставим найденные значения в оба исходных уравнения: первое уравнение дает \( 3 \cdot 5 + 2 \cdot 16 = 15 + 32 = 47 \) ✓, второе уравнение дает \( 3 \cdot 16 — 6 \cdot 5 = 48 — 30 = 18 \) ✓. Оба уравнения удовлетворяются, что подтверждает правильность найденного решения.

Ответ: гиря весит 16 кг, гантель весит 5 кг.