ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 73 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) \(8x^{4} — 16x^{3}y\);
б) \(15xy^{5} + 10y^{2}\);
в) \(8a^{2} — 50y^{2}\);
г) \(18b^{2} — 98a^{2}\);
д) \(x^{3} — 125\);
е) \(y^{3} + 8\);
ж) \(ab + 8a + 9b + 72\);
з) \(6m — 12 — 2n + mn\).

а) \(8x^4 — 16x^3y = 8x^3(x — 2y)\)

б) \(15xy^5 + 10y^2 = 5y^2(3xy^3 + 2)\)

в) \(8a^2 — 50y^2 = 2(4a^2 — 25y^2) = 2(2a — 5y)(2a + 5y)\)

г) \(18b^2 — 98a^2 = 2(9b^2 — 49a^2) = 2(3b — 7a)(3b + 7a)\)

д) \(x^3 — 125 = (x — 5)(x^2 + 5x + 25)\)

е) \(y^3 + 8 = (y + 2)(y^2 — 2y + 4)\)

ж) \(ab + 8a + 9b + 72 = a(b + 8) + 9(b + 8) = (b + 8)(a + 9)\)

з) \(6m — 12 — 2n + mn = 6(m — 2) + n(m — 2) = (m — 2)(6 + n)\)

а) В выражении \(8x^4 — 16x^3y\) сначала выделяем общий множитель. Здесь общий множитель — \(8x^3\), так как он делит обе части с учётом степеней переменных и коэффициентов. Выносим \(8x^3\) за скобки: \(8x^4 = 8x^3 \cdot x\), а \(16x^3y = 8x^3 \cdot 2y\). Таким образом, получаем \(8x^3(x — 2y)\).

Это упрощение позволяет представить исходное выражение в виде произведения, что удобно для дальнейших преобразований или решения уравнений. Выделение общего множителя — базовый способ разложения многочленов, который упрощает работу с ними.

б) В выражении \(15xy^5 + 10y^2\) ищем общий множитель. Коэффициенты 15 и 10 имеют общий делитель 5. Среди переменных общий множитель — \(y^2\), так как \(y^2\) входит в обе части (в первой степени \(y^5\), во второй — \(y^2\)). Выносим \(5y^2\): \(15xy^5 = 5y^2 \cdot 3xy^3\), \(10y^2 = 5y^2 \cdot 2\). Итог: \(5y^2(3xy^3 + 2)\).

Такое разложение облегчает анализ выражения и подготовку к решению уравнений или вычислению значений при подстановке.

в) Выражение \(8a^2 — 50y^2\) можно упростить, заметив, что 8 и 50 делятся на 2, а также здесь есть разность квадратов. Сначала выносим 2: \(2(4a^2 — 25y^2)\). Выражение в скобках — разность квадратов, которую раскладываем по формуле \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\), где \(A = 2a\), \(B = 5y\). Получаем \(2(2a — 5y)(2a + 5y)\).

Такое разложение помогает видеть структуру выражения и использовать свойства квадратов для дальнейших преобразований.

г) В выражении \(18b^2 — 98a^2\) сначала выносим общий множитель 2: \(2(9b^2 — 49a^2)\). Внутри скобок снова разность квадратов: \(9b^2 = (3b)^2\), \(49a^2 = (7a)^2\). Применяем формулу разности квадратов: \(2(3b — 7a)(3b + 7a)\).

Это классический пример использования формулы разности квадратов, которая позволяет быстро разложить выражение на множители.

д) Выражение \(x^3 — 125\) — это разность кубов, так как \(125 = 5^3\). Формула разности кубов: \(A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2)\), где \(A = x\), \(B = 5\). Применяем формулу: \((x — 5)(x^2 + 5x + 25)\).

Такое разложение часто используется в алгебре для упрощения и решения уравнений, связанных с кубическими выражениями.

е) В выражении \(y^3 + 8\) видим сумму кубов, так как \(8 = 2^3\). Формула суммы кубов: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2)\), где \(A = y\), \(B = 2\). Получаем: \((y + 2)(y^2 — 2y + 4)\).

Использование формулы суммы кубов позволяет представить выражение в виде произведения, что упрощает дальнейшую работу.

ж) В выражении \(ab + 8a + 9b + 72\) группируем слагаемые для выделения общего множителя. Группируем так: \(ab + 8a\) и \(9b + 72\). В первой группе выносим \(a\): \(a(b + 8)\), во второй — 9: \(9(b + 8)\). Теперь видим общий множитель \(b + 8\), выносим его: \((b + 8)(a + 9)\).

Такое разложение удобно для упрощения выражений и решения уравнений.

з) В выражении \(6m — 12 — 2n + mn\) группируем по переменным: \(6m — 12\) и \(-2n + mn\). В первой группе выносим 6: \(6(m — 2)\), во второй — \(n\): \(n(m — 2)\). Общий множитель — \(m — 2\), выносим за скобки: \((m — 2)(6 + n)\).

Это классический приём группировки, позволяющий упростить выражение и подготовить его к дальнейшему использованию.