ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 731 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде квадрата двучлена:

а) \( 4x^2 — 12x + 9 \)

б) \( 1 — 14a + 49a^2 \)

в) \( 25 + 4c^2 + 20c \)

а) \( 4x^2 — 12x + 9 = (2x)^2 — 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x — 3)^2 \)

б) \( 1 — 14a + 49a^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot 7a + (7a)^2 = (1 — 7a)^2 \)

в) \( 25 + 4c^2 + 20c = 25 + 20c + 4c^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2c + (2c)^2 = (5 + 2c)^2 \)

а) \( 4x^2 — 12x + 9 = (2x — 3)^2 \)

Для решения этого примера необходимо распознать формулу квадрата разности, которая имеет вид \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \). В данном случае мы должны представить левую часть уравнения в виде полного квадрата. Первый член \( 4x^2 \) можно записать как \( (2x)^2 \), третий член \( 9 \) представляется как \( 3^2 \), а средний член \( -12x \) должен соответствовать удвоенному произведению \( -2 \cdot 2x \cdot 3 \).

Проверим соответствие: удвоенное произведение первого и третьего членов равно \( -2 \cdot 2x \cdot 3 = -12x \), что совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, \( 4x^2 — 12x + 9 = (2x)^2 — 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x — 3)^2 \). Это означает, что трёхчлен \( 4x^2 — 12x + 9 \) является полным квадратом двучлена \( 2x — 3 \), и его можно свернуть в компактную форму \( (2x — 3)^2 \).

б) \( 1 — 14a + 49a^2 = (1 — 7a)^2 \)

В этом примере также применяется формула квадрата разности. Нужно переупорядочить члены в стандартный порядок: \( 1 — 14a + 49a^2 \) можно переписать как \( 1 — 14a + 49a^2 \). Первый член \( 1 \) представляется как \( 1^2 \), третий член \( 49a^2 \) записывается как \( (7a)^2 \), а средний член \( -14a \) должен быть равен \( -2 \cdot 1 \cdot 7a \).

Проверим: удвоенное произведение первого и третьего членов составляет \( -2 \cdot 1 \cdot 7a = -14a \), что полностью совпадает со средним членом. Следовательно, \( 1 — 14a + 49a^2 = 1^2 — 2 \cdot 1 \cdot 7a + (7a)^2 = (1 — 7a)^2 \). Трёхчлен успешно разложен на множители и представлен в виде полного квадрата двучлена \( 1 — 7a \), что позволяет записать его как \( (1 — 7a)^2 \).

в) \( 25 + 4c^2 + 20c = 25 + 20c + 4c^2 = (5 + 2c)^2 \)

Здесь требуется переупорядочить члены в стандартный порядок убывания степеней или в порядке, удобном для применения формулы квадрата суммы. Исходное выражение \( 25 + 4c^2 + 20c \) переписывается в виде \( 25 + 20c + 4c^2 \), что соответствует формуле \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \). Первый член \( 25 \) представляется как \( 5^2 \), третий член \( 4c^2 \) записывается как \( (2c)^2 \), а средний член \( 20c \) должен равняться \( 2 \cdot 5 \cdot 2c \).

Проверим соответствие: удвоенное произведение первого и третьего членов равно \( 2 \cdot 5 \cdot 2c = 20c \), что совпадает со средним членом. Таким образом, \( 25 + 20c + 4c^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2c + (2c)^2 = (5 + 2c)^2 \). Трёхчлен полностью соответствует формуле квадрата суммы и может быть представлен как \( (5 + 2c)^2 \), что является компактной и удобной формой записи.