ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 732 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \( (20 — 3)(20 + 3) \)

б) \( (10 + \frac{1}{2})(10 — \frac{1}{2}) \)

в) \( 102 \cdot 98 \)

г) \( 8,6 \cdot 7,4 \)

д) \( 4\frac{2}{3} \cdot 5\frac{1}{3} \)

е) \( 2,7 \cdot 3,3 \)

а) \( (20 — 3)(20 + 3) = 20^2 — 3^2 = 400 — 9 = 391 \);

б) \( \left(10 + \frac{1}{2}\right)\left(10 — \frac{1}{2}\right) = 10^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 100 — \frac{1}{4} = 99\frac{3}{4} \);

в) \( 102 \cdot 98 = (100 + 2)(100 — 2) = 100^2 — 2^2 = 10\,000 — 4 = 9996 \);

г) \( 8,6 \cdot 7,4 = (8 + 0,6)(8 — 0,6) = 8^2 — 0,6^2 = 64 — 0,36 = 63,64 \);

д) \( 4\frac{3}{4} \cdot 5\frac{1}{4} = \left(5 — \frac{1}{4}\right)\left(5 + \frac{1}{4}\right) = 5^2 — \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 25 — \frac{1}{16} = 24\frac{15}{16} \);

е) \( 2,7 \cdot 3,3 = (3 — 0,3)(3 + 0,3) = 3^2 — 0,3^2 = 9 — 0,09 = 8,91 \).

а) \( (20 — 3)(20 + 3) = 20^2 — 3^2 = 400 — 9 = 391 \)

В этом примере применяется формула разности квадратов, которая имеет вид \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \). Здесь \( a = 20 \) и \( b = 3 \). Эта формула позволяет быстро вычислить произведение двух выражений, которые отличаются только знаком между слагаемыми. Вместо того чтобы раскрывать скобки обычным способом, мы сразу получаем разность квадратов этих чисел.

Вычисляем квадраты: \( 20^2 = 400 \) и \( 3^2 = 9 \). Затем находим разность: \( 400 — 9 = 391 \). Этот метод значительно упрощает вычисления и позволяет избежать ошибок при раскрытии скобок. Формула разности квадратов является одной из самых важных и часто используемых алгебраических тождеств.

б) \( \left(10 + \frac{1}{2}\right)\left(10 — \frac{1}{2}\right) = 10^2 — \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 100 — \frac{1}{4} = 99\frac{3}{4} \)

Здесь снова используется формула разности квадратов, но с дробными числами. Первое выражение \( 10 + \frac{1}{2} \) и второе выражение \( 10 — \frac{1}{2} \) имеют одинаковые части и отличаются только знаком перед дробью. Это позволяет применить формулу \( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \), где \( a = 10 \) и \( b = \frac{1}{2} \).

Вычисляем: \( 10^2 = 100 \) и \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \). Затем находим разность: \( 100 — \frac{1}{4} = \frac{400}{4} — \frac{1}{4} = \frac{399}{4} \). Преобразуя в смешанное число, получаем \( 99\frac{3}{4} \). Работа с дробями требует внимательности при возведении в квадрат и при вычитании, но принцип остаётся тем же.

в) \( 102 \cdot 98 = (100 + 2)(100 — 2) = 100^2 — 2^2 = 10\,000 — 4 = 9996 \)

Этот пример демонстрирует практическое применение формулы разности квадратов для упрощения вычислений с большими числами. Вместо прямого умножения \( 102 \times 98 \), мы представляем эти числа как \( 100 + 2 \) и \( 100 — 2 \) соответственно. Такое представление позволяет использовать алгебраическую формулу вместо арифметического умножения.

Применяя формулу, получаем: \( (100 + 2)(100 — 2) = 100^2 — 2^2 = 10\,000 — 4 = 9996 \). Вычисление квадратов чисел 100 и 2 намного проще, чем прямое умножение трёхзначных чисел. Этот метод показывает, как алгебраические формулы помогают в практических вычислениях и делают их более эффективными.

г) \( 8,6 \cdot 7,4 = (8 + 0,6)(8 — 0,6) = 8^2 — 0,6^2 = 64 — 0,36 = 63,64 \)

Здесь применяется формула разности квадратов для произведения десятичных чисел. Числа \( 8,6 \) и \( 7,4 \) можно представить как \( 8 + 0,6 \) и \( 8 — 0,6 \), что соответствует среднему значению 8 с отклонениями \( \pm 0,6 \). Такое представление идеально подходит для применения формулы \( (a + b)(a — b) = a^2 — b^2 \).

Вычисляем квадраты: \( 8^2 = 64 \) и \( 0,6^2 = 0,36 \). Затем находим разность: \( 64 — 0,36 = 63,64 \). При работе с десятичными числами важно правильно возводить их в квадрат и аккуратно выполнять вычитание. Этот пример показывает универсальность формулы разности квадратов — она работает не только с целыми числами, но и с десятичными дробями.

д) \( 4\frac{3}{4} \cdot 5\frac{1}{4} = \left(5 — \frac{1}{4}\right)\left(5 + \frac{1}{4}\right) = 5^2 — \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 25 — \frac{1}{16} = 24\frac{15}{16} \)

В этом примере работаем со смешанными числами, которые предварительно нужно представить в удобном виде. Смешанное число \( 4\frac{3}{4} \) равно \( 5 — \frac{1}{4} \), а смешанное число \( 5\frac{1}{4} \) равно \( 5 + \frac{1}{4} \). Такое представление позволяет заметить, что эти числа имеют вид \( (a — b) \) и \( (a + b) \), где \( a = 5 \) и \( b = \frac{1}{4} \).

Применяя формулу разности квадратов, получаем: \( \left(5 — \frac{1}{4}\right)\left(5 + \frac{1}{4}\right) = 5^2 — \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 25 — \frac{1}{16} \). Вычисляем: \( 25 = \frac{400}{16} \), поэтому \( \frac{400}{16} — \frac{1}{16} = \frac{399}{16} \). Преобразуя в смешанное число: \( \frac{399}{16} = 24\frac{15}{16} \), так как \( 399 = 16 \times 24 + 15 \). Этот пример показывает, как преобразование смешанных чисел помогает применить алгебраические формулы.

е) \( 2,7 \cdot 3,3 = (3 — 0,3)(3 + 0,3) = 3^2 — 0,3^2 = 9 — 0,09 = 8,91 \)

Завершающий пример снова использует формулу разности квадратов с десятичными числами. Числа \( 2,7 \) и \( 3,3 \) можно представить как \( 3 — 0,3 \) и \( 3 + 0,3 \) соответственно. Это представление показывает, что оба числа находятся на одинаковом расстоянии от числа 3, что идеально соответствует структуре формулы \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \).

Вычисляем: \( 3^2 = 9 \) и \( 0,3^2 = 0,09 \). Затем находим разность: \( 9 — 0,09 = 8,91 \). При работе с десятичными числами нужно внимательно считать количество знаков после запятой. В этом случае \( 0,3^2 = 0,09 \) имеет два знака после запятой, что соответствует правилам умножения десятичных дробей. Этот пример демонстрирует, как формула разности квадратов применяется к различным типам чисел и значительно упрощает вычисления в повседневных ситуациях.