ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 735 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение с параметром \( a \):

\( ax — 2x = a^3 — 2a^2 — 9a + 18 \).

\( ax — 2x = a^3 — 2a^2 — 9a + 18 \)

\( x(a — 2) = a^2(a — 2) — 9(a — 2) \)

\( x(a — 2) = (a — 2)(a^2 — 9) \)

\( x(a — 2) = (a — 2)(a — 3)(a + 3) \)

при \( a = 2: \)

\( x(2 — 2) = (2 — 2)(2 — 3)(2 + 3) \)

\( 0 = 0 \)

\( x \) — любое число.

при \( a \neq 2: \)

\( x(a — 2) = (a — 2)(a^2 — 9) \)

\( x = a^2 — 9. \)

Ответ: при \( a = 2, \) \( x \) — любое число; при \( a \neq 2, \) \( x = a^2 — 9. \)

Дано уравнение \( ax — 2x = a^3 — 2a^2 — 9a + 18 \). Необходимо найти значение переменной \( x \) в зависимости от параметра \( a \). Для решения этого параметрического уравнения нужно вынести общий множитель в левой части и разложить на множители правую часть. В левой части вынесем \( x \): \( x(a — 2) = a^3 — 2a^2 — 9a + 18 \). Теперь необходимо разложить правую часть на множители. Заметим, что можно сгруппировать члены: \( a^3 — 2a^2 — 9a + 18 = a^2(a — 2) — 9(a — 2) \). Видно, что общий множитель \( (a — 2) \) выносится за скобки: \( x(a — 2) = (a — 2)(a^2 — 9) \).

Далее разложим разность квадратов \( a^2 — 9 \) по формуле \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \): \( x(a — 2) = (a — 2)(a — 3)(a + 3) \). Теперь необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения параметра \( a \). Первый случай возникает, когда коэффициент при \( x \) равен нулю, то есть когда \( a — 2 = 0 \), откуда \( a = 2 \). Второй случай — когда \( a \neq 2 \), и мы можем разделить обе части уравнения на \( (a — 2) \).

Рассмотрим случай \( a = 2 \). Подставим это значение в уравнение \( x(a — 2) = (a — 2)(a — 3)(a + 3) \): \( x(2 — 2) = (2 — 2)(2 — 3)(2 + 3) \), что дает \( 0 = 0 \). Это тождество верно при любом значении \( x \), поэтому когда \( a = 2 \), переменная \( x \) может принимать любое действительное число. Это означает, что исходное уравнение имеет бесконечное множество решений при данном значении параметра.

Рассмотрим случай \( a \neq 2 \). В этом случае множитель \( (a — 2) \) не равен нулю, и мы можем разделить обе части уравнения на \( (a — 2) \): \( \frac{x(a — 2)}{a — 2} = \frac{(a — 2)(a — 3)(a + 3)}{a — 2} \). После сокращения на \( (a — 2) \) получаем: \( x = (a — 3)(a + 3) \). Применяя формулу разности квадратов \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \), получаем: \( x = a^2 — 9 \). Таким образом, для всех значений параметра \( a \), кроме \( a = 2 \), решение уравнения имеет вид \( x = a^2 — 9 \).

Итоговый результат решения параметрического уравнения следующий: при \( a = 2 \) переменная \( x \) принимает любое действительное значение (уравнение имеет бесконечное множество решений), а при \( a \neq 2 \) уравнение имеет единственное решение, которое выражается формулой \( x = a^2 — 9 \). Это решение справедливо для всех остальных значений параметра. Полученный результат полностью описывает поведение решений исходного уравнения в зависимости от значения параметра \( a \).