ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 736 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение с параметром \( b \):

\( 2x^2 — 4x + b = 0 \).

Дано уравнение \( 2x^2 — 4x + b = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = 16 — 4 \cdot 2b = 16 — 8b \).

Корни уравнения: \( x_1 = \frac{4 \pm \sqrt{16 — 8b}}{4} \).

При \( b < 2 \): \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4} \). При \( b = 2 \): \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8 \cdot 2}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{4} = \frac{4}{4} = 1 \). При \( b > 2 \): \( 16 — 8b < 0 \) — корней нет. Ответ: при \( b < 2 \), \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4} \); при \( b = 2 \), \( x = 1 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( 2x^2 — 4x + b = 0 \). Для решения этого уравнения необходимо найти дискриминант, который определяет количество и характер корней. Дискриминант вычисляется по формуле \( D = a^2 — 4ac \), где в нашем случае \( a = 2 \), коэффициент при \( x \) равен \( -4 \), а свободный член равен \( b \). Подставляя эти значения, получаем \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 2 \cdot b = 16 — 8b \). Значение дискриминанта определяет, будут ли у уравнения действительные корни и сколько их будет. Если дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня; если он равен нулю, то один корень; если отрицательный, то действительных корней нет.

Используя формулу для корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), где \( b \) в формуле обозначает коэффициент при \( x \) (в нашем случае это \( -4 \)), а \( a = 2 \), получаем \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 — 8b}}{4} \). Эта формула дает нам общее выражение для корней, но его применимость зависит от значения параметра \( b \). Необходимо рассмотреть три случая в зависимости от того, какой знак имеет выражение под корнем, то есть значение дискриминанта.

Рассмотрим первый случай, когда \( b < 2 \). В этом случае выражение \( 16 - 8b \) принимает положительное значение, так как \( 16 - 8b > 0 \) при \( b < 2 \). Это означает, что дискриминант положительный, и уравнение имеет два различных действительных корня. Корни вычисляются по формуле \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4} \). Оба корня существуют и являются действительными числами. Например, если \( b = 0 \), то \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{4 \pm 4}{4} \), откуда получаем \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 0 \). Таким образом, для всех значений \( b \) меньше двух, уравнение имеет два различных корня, которые можно выразить единой формулой. Рассмотрим второй случай, когда \( b = 2 \). При этом значении параметра дискриминант становится равным нулю: \( D = 16 - 8 \cdot 2 = 16 - 16 = 0 \). Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет один корень кратности два, то есть два совпадающих корня. Подставляя в формулу, получаем \( x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{4} = \frac{4 \pm 0}{4} = \frac{4}{4} = 1 \). Таким образом, при \( b = 2 \) единственным решением уравнения является \( x = 1 \). Это можно проверить, подставив значение в исходное уравнение: \( 2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 2 = 2 - 4 + 2 = 0 \), что подтверждает корректность решения. Рассмотрим третий случай, когда \( b > 2 \). В этом случае выражение \( 16 — 8b \) становится отрицательным, так как \( 16 — 8b < 0 \) при \( b > 2 \). Дискриминант отрицательный, что означает, что уравнение не имеет действительных корней. В этом случае формула \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 — 8b}}{4} \) не применима в области действительных чисел, так как под корнем находится отрицательное число. Например, если \( b = 3 \), то \( D = 16 — 24 = -8 < 0 \), и уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Однако в множестве комплексных чисел уравнение имело бы два комплексно сопряженных корня, но в контексте этой задачи мы рассматриваем только действительные решения. Итоговое решение объединяет все три случая. При \( b < 2 \) уравнение имеет два различных действительных корня, выражаемые формулой \( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4} \). При \( b = 2 \) уравнение имеет одно решение \( x = 1 \). При \( b > 2 \) уравнение не имеет действительных корней, то есть множество решений пусто. Таким образом, поведение решений квадратного уравнения полностью определяется значением параметра \( b \), и для каждого диапазона значений этого параметра получается качественно различный результат.