ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 737 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите относительно \( x \) уравнение:

а) \( x^2 — 5ax + 4a^2 = 0 \);

б) \( 3x^2 — 10ax + 3a^2 = 0 \).

а) \( x^2 — 5ax + 4a^2 = 0 \)

\( D = 25a^2 — 4 \cdot 4a^2 = 25a^2 — 16a^2 = 9a^2 = (3a)^2 \)

\( x_1 = \frac{5a — 3a}{2} = \frac{2a}{2} = a, \quad x_2 = \frac{5a + 3a}{2} = \frac{8a}{2} = 4a \)

Ответ: при \( a = 0, x = 0 \); при \( a \neq 0, x = a, x = 4a \).

б) \( 3x^2 — 10ax + 3a^2 = 0 \)

\( D = 100a^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3a^2 = 100a^2 — 36a^2 = 64a^2 = (8a)^2 \)

\( x_1 = \frac{10a — 8a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{1}{3}a, \quad x_2 = \frac{10a + 8a}{6} = \frac{18a}{6} = 3a \)

Ответ: при \( a = 0, x = 0 \); при \( a \neq 0, x = \frac{1}{3}a, x = 3a \).

а) \( x^2 — 5ax + 4a^2 = 0 \)

Для решения этого квадратного уравнения с параметром \( a \) применяем формулу дискриминанта. Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac \), где коэффициенты уравнения равны \( a_{\text{коэф}} = 1 \), \( b = -5a \), \( c = 4a^2 \). Подставляя в формулу, получаем \( D = (-5a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4a^2 = 25a^2 — 16a^2 = 9a^2 \). Дискриминант представляет собой полный квадрат: \( D = 9a^2 = (3a)^2 \), что позволяет легко извлечь корень и найти корни уравнения.

Используя формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{\text{коэф}}} \), подставляем найденные значения. Первый корень: \( x_1 = \frac{-(-5a) — 3a}{2 \cdot 1} = \frac{5a — 3a}{2} = \frac{2a}{2} = a \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-(-5a) + 3a}{2 \cdot 1} = \frac{5a + 3a}{2} = \frac{8a}{2} = 4a \). Необходимо учесть частный случай: когда \( a = 0 \), оба корня совпадают и равны нулю, так как уравнение принимает вид \( x^2 = 0 \), откуда \( x = 0 \). При \( a \neq 0 \) уравнение имеет два различных корня.

Итоговый ответ для пункта а): при \( a = 0 \) корень уравнения \( x = 0 \); при \( a \neq 0 \) корни уравнения равны \( x = a \) и \( x = 4a \). Эти корни можно проверить подстановкой в исходное уравнение, и они будут удовлетворять ему для любого значения параметра \( a \).

б) \( 3x^2 — 10ax + 3a^2 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение с параметром, используя стандартный алгоритм через дискриминант. Коэффициенты уравнения: \( a_{\text{коэф}} = 3 \), \( b = -10a \), \( c = 3a^2 \). Вычислим дискриминант: \( D = (-10a)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3a^2 = 100a^2 — 36a^2 = 64a^2 \). Дискриминант также является полным квадратом: \( D = 64a^2 = (8a)^2 \), что гарантирует существование двух действительных корней при любом значении параметра \( a \).

Применяем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a_{\text{коэф}}} \). Для первого корня: \( x_1 = \frac{-(-10a) — 8a}{2 \cdot 3} = \frac{10a — 8a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3} \). Для второго корня: \( x_2 = \frac{-(-10a) + 8a}{2 \cdot 3} = \frac{10a + 8a}{6} = \frac{18a}{6} = 3a \). При \( a = 0 \) оба корня обращаются в нуль, и уравнение принимает вид \( 3x^2 = 0 \), откуда \( x = 0 \).

Итоговый ответ для пункта б): при \( a = 0 \) корень уравнения \( x = 0 \); при \( a \neq 0 \) корни уравнения равны \( x = \frac{1}{3}a \) и \( x = 3a \). Оба корня линейно зависят от параметра \( a \), и их можно легко вычислить для любого конкретного значения параметра, подставив его в полученные формулы.