ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 738 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( t \) имеет единственный корень уравнение:

а) \( 3x^2 + tx + 3 = 0 \);

в) \( tx^2 — 6x + 1 = 0 \);

б) \( 2x^2 — tx + 50 = 0 \);

г) \( tx^2 + x — 2 = 0 \)?

а) \( 3x^2 + tx + 3 = 0 \)

\( D = t^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = t^2 — 36. \)

\( t^2 — 36 = 0 \)

\( t^2 = 36 \)

\( t = \pm 6. \)

Ответ: при \( t = \pm 6. \)

б) \( 2x^2 — tx + 50 = 0 \)

\( D = t^2 — 4 \cdot 2 \cdot 50 = t^2 — 400. \)

\( t^2 — 400 = 0 \)

\( t^2 = 400 \)

\( t = \pm 20. \)

Ответ: при \( t = \pm 20. \)

в) \( tx^2 — 6x + 1 = 0 \)

\( D = 36 — 4t. \)

\( 36 — 4t = 0 \)

\( 4t = 36 \)

\( t = 9. \)

Ответ: при \( t = 9. \)

г) \( tx^2 + x — 2 = 0 \)

\( D = 1 + 4 \cdot 2t = 1 + 8t. \)

\( 1 + 8t = 0 \)

\( 8t = -1 \)

\( t = -\frac{1}{8}. \)

Ответ: при \( t = -\frac{1}{8}. \)

а) \( 3x^2 + tx + 3 = 0 \)

Для решения этого уравнения используем условие, что дискриминант равен нулю, так как по условию задачи уравнение должно иметь один корень. Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \). В нашем случае коэффициенты равны: \( a = 3 \), \( b = t \), \( c = 3 \). Подставляем эти значения в формулу дискриминанта.

Получаем \( D = t^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = t^2 — 36 \). Приравниваем дискриминант к нулю: \( t^2 — 36 = 0 \). Решаем полученное уравнение: \( t^2 = 36 \), откуда \( t = \pm 6 \). Таким образом, при \( t = 6 \) или \( t = -6 \) исходное квадратное уравнение имеет ровно один корень. Это происходит потому, что при нулевом дискриминанте квадратное уравнение имеет два совпадающих корня, которые считаются за один корень.

б) \( 2x^2 — tx + 50 = 0 \)

Аналогично предыдущему пункту, применяем условие равенства дискриминанта нулю. Здесь коэффициенты уравнения: \( a = 2 \), \( b = -t \), \( c = 50 \). Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), подставляя наши коэффициенты.

Получаем \( D = (-t)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 50 = t^2 — 400 \). Приравниваем к нулю: \( t^2 — 400 = 0 \). Решаем уравнение: \( t^2 = 400 \), следовательно, \( t = \pm 20 \). При этих значениях параметра \( t \) уравнение имеет единственный корень. Заметим, что число 400 является полным квадратом числа 20, поэтому решение получается достаточно простым и точным.

в) \( tx^2 — 6x + 1 = 0 \)

В этом уравнении коэффициент при \( x^2 \) содержит параметр \( t \), поэтому необходимо быть внимательным при применении формулы дискриминанта. Коэффициенты имеют вид: \( a = t \), \( b = -6 \), \( c = 1 \). Применяя формулу дискриминанта, получаем \( D = (-6)^2 — 4 \cdot t \cdot 1 = 36 — 4t \).

Для того чтобы уравнение имело один корень, приравниваем дискриминант к нулю: \( 36 — 4t = 0 \). Решаем это линейное уравнение относительно \( t \): \( 4t = 36 \), откуда \( t = 9 \). Важно отметить, что в этом случае мы получаем единственное значение параметра, в отличие от предыдущих пунктов, где было два значения. Это связано с тем, что дискриминант здесь линейно зависит от \( t \), а не квадратично.

г) \( tx^2 + x — 2 = 0 \)

Здесь также коэффициент при \( x^2 \) зависит от параметра \( t \). Коэффициенты уравнения: \( a = t \), \( b = 1 \), \( c = -2 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 1^2 — 4 \cdot t \cdot (-2) = 1 + 8t \). Это выражение показывает, что дискриминант зависит линейно от параметра \( t \).

Приравниваем дискриминант к нулю для получения условия единственного корня: \( 1 + 8t = 0 \). Решаем уравнение: \( 8t = -1 \), следовательно, \( t = -\frac{1}{8} \). При этом значении параметра исходное квадратное уравнение имеет ровно один корень. Отметим, что полученное значение является отрицательной дробью, что вполне допустимо для параметра \( t \) в данной задаче.