ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 739 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выясните, при каких значениях параметра \( a \) сумма квадратов корней уравнения \( x^2 — ax + a — 3 = 0 \) принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

Дано уравнение \( x^2 — ax + a — 3 = 0 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = a \), \( x_1 x_2 = a — 3 \).

Найдём \( x_1^2 + x_2^2 \):

\( (x_1 + x_2)^2 = a^2 \)

\( x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = a^2 \)

\( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2x_1x_2 \)

\( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2(a — 3) \)

\( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2a + 6 \)

\( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2a + 1 + 5 \)

\( x_1^2 + x_2^2 = (a — 1)^2 + 5 \)

Значит, при \( a = 1 \) будет минимальное значение суммы квадратов, равное 5.

Ответ: при \( a = 1 \), \( x_1^2 + x_2^2 = 5 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 — ax + a — 3 = 0 \). Для решения этой задачи необходимо найти значение параметра \( a \), при котором сумма квадратов корней уравнения принимает минимальное значение. Начнём с применения теоремы Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами уравнения и его корнями. Согласно теореме Виета для приведённого квадратного уравнения вида \( x^2 + px + q = 0 \) сумма корней равна \( -p \), а произведение корней равно \( q \). В нашем случае сумма корней составляет \( x_1 + x_2 = a \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = a — 3 \). Эти соотношения являются основой для дальнейших преобразований и позволяют выразить интересующую нас величину через параметр \( a \).

Для нахождения суммы квадратов корней воспользуемся алгебраическим тождеством. Возведём обе части равенства \( x_1 + x_2 = a \) в квадрат, получив \( (x_1 + x_2)^2 = a^2 \). Раскроем левую часть по формуле квадрата суммы: \( x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 = a^2 \). Из этого выражения выразим сумму квадратов корней, перенеся удвоенное произведение в правую часть: \( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2x_1x_2 \). Теперь подставим известное нам из теоремы Виета значение произведения корней \( x_1 x_2 = a — 3 \): \( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2(a — 3) \). Раскроем скобки в правой части: \( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2a + 6 \). Полученное выражение представляет собой функцию от переменной \( a \), которую необходимо минимизировать.

Для нахождения минимума функции \( f(a) = a^2 — 2a + 6 \) преобразуем её к виду полного квадрата. Выделим полный квадрат из выражения \( a^2 — 2a + 6 \). Заметим, что \( a^2 — 2a + 1 = (a — 1)^2 \), поэтому \( a^2 — 2a + 6 = a^2 — 2a + 1 + 5 = (a — 1)^2 + 5 \). Таким образом, сумма квадратов корней может быть записана как \( x_1^2 + x_2^2 = (a — 1)^2 + 5 \). Выражение \( (a — 1)^2 \) всегда неотрицательно и принимает минимальное значение, равное нулю, когда \( a = 1 \). При этом значении параметра сумма квадратов корней достигает своего минимума, равного \( 0 + 5 = 5 \).

Проверим, что при \( a = 1 \) исходное уравнение имеет действительные корни. Подставим \( a = 1 \) в уравнение: \( x^2 — x + 1 — 3 = 0 \), то есть \( x^2 — x — 2 = 0 \). Дискриминант этого уравнения равен \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 > 0 \), что гарантирует наличие двух различных действительных корней. Корни уравнения находятся по формуле: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \). Таким образом, \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -1 \). Проверим: \( x_1 + x_2 = 2 + (-1) = 1 = a \) и \( x_1 x_2 = 2 \cdot (-1) = -2 = a — 3 = 1 — 3 = -2 \). Оба условия теоремы Виета выполнены. Вычислим сумму квадратов: \( x_1^2 + x_2^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \), что полностью совпадает с полученным результатом.

Таким образом, минимальное значение суммы квадратов корней уравнения \( x^2 — ax + a — 3 = 0 \) равно 5 и достигается при \( a = 1 \). Метод выделения полного квадрата показал, что функция \( f(a) = (a — 1)^2 + 5 \) имеет вершину в точке \( a = 1 \), где она принимает минимальное значение. Геометрически это означает, что график функции \( f(a) \) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке \( (1; 5) \). Все проведённые вычисления и проверки подтверждают корректность полученного результата.