ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 74 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Укажите допустимые значения переменной в выражении:
а) \(\frac{3a}{2a + 25}\);
б) \(\frac{2y}{9 + y^{2}}\);
в) \(\frac{5x}{3x(x + 12)}\);
г) \(\frac{7a}{(a + 1)(a — 4)}\).

а) \(\frac{3a}{2a + 25}, \quad 2a + 25 \neq 0, \quad 2a \neq -25, \quad a \neq -12{,}5\)

б) \(\frac{2y}{9 + y^2}, \quad 9 + y^2 \neq 0, \quad y^2 \neq -9, \quad y \text{ — любое число}\)

в) \(\frac{5x}{3x(x + 12)}, \quad 3x(x + 12) \neq 0, \quad 3x \neq 0, \quad x + 12 \neq 0, \quad x \neq 0,\)
\( \quad x \neq -12\)

г) \(\frac{7a}{(a + 1)(a — 4)}, \quad (a + 1)(a — 4) \neq 0, \quad a + 1 \neq 0, \quad a — 4 \neq 0, \quad a \neq -1,\)
\( \quad a \neq 4\)

а) Рассмотрим выражение \(\frac{3a}{2a + 25}\). Чтобы оно было определено, знаменатель не должен равняться нулю: \(2a + 25 \neq 0\). Решая это уравнение, получаем \(2a \neq -25\), откуда \(a \neq -\frac{25}{2}\), то есть \(a \neq -12{,}5\). Это ограничение нужно учитывать, чтобы избежать деления на ноль, что невозможно в математике.

Таким образом, область допустимых значений переменной \(a\) — все числа, кроме \(a = -12{,}5\). При любых других значениях \(a\) дробь будет корректно определена. Важно всегда проверять такие ограничения при работе с дробями, чтобы не получить неопределённость.

б) Выражение \(\frac{2y}{9 + y^2}\) требует, чтобы знаменатель не был равен нулю: \(9 + y^2 \neq 0\). Поскольку \(y^2 \geq 0\) для всех действительных \(y\), сумма \(9 + y^2\) всегда положительна и не может равняться нулю. Следовательно, ограничений на \(y\) нет, и \(y\) может принимать любое значение из множества действительных чисел.

Проверка невозможности нуля в знаменателе важна для определения области определения функции. Здесь, учитывая, что \(y^2\) не может быть отрицательным, отрицательное число под знаком равенства исключается, и область определения — вся числовая прямая.

в) Для выражения \(\frac{5x}{3x(x + 12)}\) необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю. Значит, \(3x(x + 12) \neq 0\). Это возможно, если \(3x \neq 0\) и \(x + 12 \neq 0\). Из первого условия следует \(x \neq 0\), из второго — \(x \neq -12\). Таким образом, переменная \(x\) не может принимать значения 0 и -12, иначе знаменатель станет равен нулю, и выражение не будет определено.

Эти ограничения показывают, что при работе с дробями важно учитывать все множители в знаменателе, так как любой из них, равный нулю, делает выражение неопределённым.

г) В выражении \(\frac{7a}{(a + 1)(a — 4)}\) знаменатель равен произведению двух множителей: \((a + 1)(a — 4)\). Чтобы дробь существовала, произведение не должно равняться нулю, значит, ни один из множителей не должен быть нулём: \(a + 1 \neq 0\) и \(a — 4 \neq 0\). Отсюда \(a \neq -1\) и \(a \neq 4\).

Таким образом, переменная \(a\) может принимать любые значения, кроме \(-1\) и \(4\). Это ограничение связано с тем, что при этих значениях знаменатель обращается в ноль, что недопустимо в рациональных выражениях.