ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 740 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите относительно \( x \) уравнение

\( (a — 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0 \).

При \( a = 1 \): \( 2x + 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = -2 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \).

При \( a \neq 1 \): \( (a-1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0 \)

\( D = 4a^2 — 4(a-1)(a+1) = 4a^2 — 4a^2 + 4 = 4 = 2^2 \)

\( x_1 = \frac{-2a — 2}{2(a-1)} = \frac{2(-a-1)}{2(a-1)} = \frac{-a-1}{a-1} \)

\( x_2 = \frac{-2a + 2}{2(a-1)} = \frac{-2(a-1)}{2(a-1)} = -1 \)

Ответ: при \( a = 1 \), \( x = -1 \); при \( a \neq 1 \), \( x = \frac{-a-1}{a-1} \), \( x = -1 \).

Рассмотрим уравнение \( (a-1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0 \), которое содержит параметр \( a \). Решение этого уравнения зависит от значения параметра, поскольку коэффициент при \( x^2 \) равен \( (a-1) \). Когда \( a = 1 \), коэффициент обращается в нуль, и уравнение перестаёт быть квадратным, становясь линейным. Когда же \( a \neq 1 \), уравнение остаётся квадратным, и для его решения необходимо применить формулу дискриминанта и корней квадратного уравнения.

При \( a = 1 \) уравнение принимает вид \( (1-1)x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + 1 + 1 = 0 \), что упрощается до \( 0 \cdot x^2 + 2x + 2 = 0 \), или просто \( 2x + 2 = 0 \). Это линейное уравнение решается элементарно: \( 2x = -2 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \). Таким образом, при \( a = 1 \) единственным решением является \( x = -1 \). Этот частный случай необходимо рассматривать отдельно, поскольку общая формула для квадратного уравнения здесь неприменима.

При \( a \neq 1 \) уравнение \( (a-1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0 \) остаётся квадратным. Для его решения вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a_{\text{коэфф}} = a — 1 \), \( b = 2a \), \( c = a + 1 \). Подставляя эти значения, получаем \( D = (2a)^2 — 4(a-1)(a+1) = 4a^2 — 4(a^2 — 1) = 4a^2 — 4a^2 + 4 = 4 \). Дискриминант равен \( 4 = 2^2 \), что является положительным числом, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня при всех значениях \( a \neq 1 \).

Найдём первый корень по формуле \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a_{\text{коэфф}}} = \frac{-2a + \sqrt{4}}{2(a-1)} = \frac{-2a + 2}{2(a-1)} \). Вынесем общий множитель из числителя: \( x_1 = \frac{2(-a + 1)}{2(a-1)} = \frac{2(-(a-1))}{2(a-1)} = \frac{-(a-1)}{a-1} = -1 \). Таким образом, первый корень также равен \( -1 \), независимо от значения параметра \( a \) (при условии \( a \neq 1 \)).

Найдём второй корень по формуле \( x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a_{\text{коэфф}}} = \frac{-2a — \sqrt{4}}{2(a-1)} = \frac{-2a — 2}{2(a-1)} \). Вынесем общий множитель из числителя: \( x_2 = \frac{-2(a + 1)}{2(a-1)} = \frac{-(a+1)}{a-1} = \frac{-a — 1}{a-1} \). Этот корень зависит от параметра \( a \) и принимает различные значения при разных \( a \). Заметим, что при \( a = 1 \) этот корень не определён, что согласуется с нашим анализом случая \( a = 1 \), где уравнение не является квадратным.

Интересное наблюдение состоит в том, что один из корней квадратного уравнения \( x = -1 \) совпадает с решением линейного уравнения при \( a = 1 \). Это означает, что \( x = -1 \) является решением исходного уравнения при всех значениях параметра \( a \). Второй корень \( x = \frac{-a-1}{a-1} \) существует только при \( a \neq 1 \) и варьируется в зависимости от значения параметра. Таким образом, множество решений зависит от параметра: при \( a = 1 \) решением является только \( x = -1 \), а при \( a \neq 1 \) решениями являются \( x = -1 \) и \( x = \frac{-a-1}{a-1} \).

Проверим корректность полученных результатов. Подставим \( x = -1 \) в исходное уравнение: \( (a-1)(-1)^2 + 2a(-1) + a + 1 = (a-1) — 2a + a + 1 =\) \(= a — 1 — 2a + a + 1 = 0 \). Уравнение удовлетворяется, что подтверждает, что \( x = -1 \) действительно является корнем при всех \( a \). Для второго корня \( x = \frac{-a-1}{a-1} \) подстановка также приводит к нулю, хотя вычисления более громоздки. Таким образом, полученное решение полностью описывает все возможные решения исходного параметрического уравнения.