Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 740 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите относительно \( x \) уравнение
\( (a — 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0 \).
При \( a = 1 \): \( 2x + 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = -2 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \).
При \( a \neq 1 \): \( (a-1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0 \)
\( D = 4a^2 — 4(a-1)(a+1) = 4a^2 — 4a^2 + 4 = 4 = 2^2 \)
\( x_1 = \frac{-2a — 2}{2(a-1)} = \frac{2(-a-1)}{2(a-1)} = \frac{-a-1}{a-1} \)
\( x_2 = \frac{-2a + 2}{2(a-1)} = \frac{-2(a-1)}{2(a-1)} = -1 \)
Ответ: при \( a = 1 \), \( x = -1 \); при \( a \neq 1 \), \( x = \frac{-a-1}{a-1} \), \( x = -1 \).
Рассмотрим уравнение \( (a-1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0 \), которое содержит параметр \( a \). Решение этого уравнения зависит от значения параметра, поскольку коэффициент при \( x^2 \) равен \( (a-1) \). Когда \( a = 1 \), коэффициент обращается в нуль, и уравнение перестаёт быть квадратным, становясь линейным. Когда же \( a \neq 1 \), уравнение остаётся квадратным, и для его решения необходимо применить формулу дискриминанта и корней квадратного уравнения.
При \( a = 1 \) уравнение принимает вид \( (1-1)x^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + 1 + 1 = 0 \), что упрощается до \( 0 \cdot x^2 + 2x + 2 = 0 \), или просто \( 2x + 2 = 0 \). Это линейное уравнение решается элементарно: \( 2x = -2 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \). Таким образом, при \( a = 1 \) единственным решением является \( x = -1 \). Этот частный случай необходимо рассматривать отдельно, поскольку общая формула для квадратного уравнения здесь неприменима.
При \( a \neq 1 \) уравнение \( (a-1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0 \) остаётся квадратным. Для его решения вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a_{\text{коэфф}} = a — 1 \), \( b = 2a \), \( c = a + 1 \). Подставляя эти значения, получаем \( D = (2a)^2 — 4(a-1)(a+1) = 4a^2 — 4(a^2 — 1) = 4a^2 — 4a^2 + 4 = 4 \). Дискриминант равен \( 4 = 2^2 \), что является положительным числом, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня при всех значениях \( a \neq 1 \).
Найдём первый корень по формуле \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a_{\text{коэфф}}} = \frac{-2a + \sqrt{4}}{2(a-1)} = \frac{-2a + 2}{2(a-1)} \). Вынесем общий множитель из числителя: \( x_1 = \frac{2(-a + 1)}{2(a-1)} = \frac{2(-(a-1))}{2(a-1)} = \frac{-(a-1)}{a-1} = -1 \). Таким образом, первый корень также равен \( -1 \), независимо от значения параметра \( a \) (при условии \( a \neq 1 \)).
Найдём второй корень по формуле \( x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a_{\text{коэфф}}} = \frac{-2a — \sqrt{4}}{2(a-1)} = \frac{-2a — 2}{2(a-1)} \). Вынесем общий множитель из числителя: \( x_2 = \frac{-2(a + 1)}{2(a-1)} = \frac{-(a+1)}{a-1} = \frac{-a — 1}{a-1} \). Этот корень зависит от параметра \( a \) и принимает различные значения при разных \( a \). Заметим, что при \( a = 1 \) этот корень не определён, что согласуется с нашим анализом случая \( a = 1 \), где уравнение не является квадратным.
Интересное наблюдение состоит в том, что один из корней квадратного уравнения \( x = -1 \) совпадает с решением линейного уравнения при \( a = 1 \). Это означает, что \( x = -1 \) является решением исходного уравнения при всех значениях параметра \( a \). Второй корень \( x = \frac{-a-1}{a-1} \) существует только при \( a \neq 1 \) и варьируется в зависимости от значения параметра. Таким образом, множество решений зависит от параметра: при \( a = 1 \) решением является только \( x = -1 \), а при \( a \neq 1 \) решениями являются \( x = -1 \) и \( x = \frac{-a-1}{a-1} \).
Проверим корректность полученных результатов. Подставим \( x = -1 \) в исходное уравнение: \( (a-1)(-1)^2 + 2a(-1) + a + 1 = (a-1) — 2a + a + 1 =\) \(= a — 1 — 2a + a + 1 = 0 \). Уравнение удовлетворяется, что подтверждает, что \( x = -1 \) действительно является корнем при всех \( a \). Для второго корня \( x = \frac{-a-1}{a-1} \) подстановка также приводит к нулю, хотя вычисления более громоздки. Таким образом, полученное решение полностью описывает все возможные решения исходного параметрического уравнения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!