ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 741 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение с параметром \( k \):

\( x^2 — (4k + 1)x + 2(2k^2 + k — 3) = 0 \).

Дано уравнение \( x^2 — (4k + 1)x + 2(2k^2 + k — 3) = 0 \)

Найдём дискриминант:

\( D = (4k + 1)^2 — 4 \cdot 2(2k^2 + k — 3) = 16k^2 + 8k + 1 — \)
\( — 8(2k^2 + k — 3) = 16k^2 + 8k + 1 — 16k^2 — 8k + 24 = 25 = 5^2 \)

Найдём корни по формуле:

\( x_1 = \frac{4k + 1 — 5}{2} = \frac{4k — 4}{2} = \frac{2(2k — 2)}{2} = 2k — 2 \)

\( x_2 = \frac{4k + 1 + 5}{2} = \frac{4k + 6}{2} = \frac{2(2k + 3)}{2} = 2k + 3 \)

Ответ: \( x = 2k — 2, \quad x = 2k + 3 \)

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 — (4k + 1)x + 2(2k^2 + k — 3) = 0 \), где \( k \) — параметр. Для решения этого уравнения необходимо найти дискриминант, который позволит определить, имеет ли уравнение действительные корни, и если да, то какие именно. Дискриминант квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \). В нашем случае коэффициенты равны: \( a = 1 \), \( b = -(4k + 1) \), \( c = 2(2k^2 + k — 3) \).

Вычислим дискриминант пошагово. Сначала найдём \( b^2 = (-(4k + 1))^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 \). Затем вычислим произведение \( 4ac = 4 \cdot 1 \cdot 2(2k^2 + k — 3) = 8(2k^2 + k — 3) = 16k^2 + 8k — 24 \). Теперь найдём дискриминант: \( D = 16k^2 + 8k + 1 — (16k^2 + 8k — 24) = 16k^2 + 8k + 1 — \)
\( — 16k^2 — 8k + 24 = 25 = 5^2 \). Полученный результат показывает, что дискриминант равен 25, что является полным квадратом. Это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня при любом значении параметра \( k \).

Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставим наши значения: \( x = \frac{(4k + 1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{(4k + 1) \pm 5}{2} \). Для первого корня используем знак минус: \( x_1 = \frac{4k + 1 — 5}{2} = \frac{4k — 4}{2} \). Упростим это выражение, вынеся общий множитель: \( x_1 = \frac{2(2k — 2)}{2} = 2k — 2 \). Для второго корня используем знак плюс: \( x_2 = \frac{4k + 1 + 5}{2} = \frac{4k + 6}{2} \). Аналогично упростим: \( x_2 = \frac{2(2k + 3)}{2} = 2k + 3 \).

Полученные корни \( x_1 = 2k — 2 \) и \( x_2 = 2k + 3 \) зависят от параметра \( k \). Это означает, что при каждом конкретном значении \( k \) мы получаем определённую пару корней. Например, если \( k = 0 \), то корни равны \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 3 \); если \( k = 1 \), то \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 5 \). Разность между корнями всегда постоянна и равна \( (2k + 3) — (2k — 2) = 5 \), что соответствует значению \( \sqrt{D} = 5 \). Оба корня являются линейными функциями параметра \( k \), что позволяет легко вычислить их для любого конкретного значения параметра.

Таким образом, решение исходного квадратного уравнения с параметром \( k \) даёт нам два корня: \( x = 2k — 2 \) и \( x = 2k + 3 \). Эти корни справедливы для всех действительных значений параметра \( k \), поскольку дискриминант всегда положителен и не зависит от \( k \). Полученные формулы позволяют быстро найти корни уравнения при любом значении параметра, не требуя повторного вычисления дискриминанта.