Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 741 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение с параметром \( k \):
\( x^2 — (4k + 1)x + 2(2k^2 + k — 3) = 0 \).
Дано уравнение \( x^2 — (4k + 1)x + 2(2k^2 + k — 3) = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = (4k + 1)^2 — 4 \cdot 2(2k^2 + k — 3) = 16k^2 + 8k + 1 — \)
\( — 8(2k^2 + k — 3) = 16k^2 + 8k + 1 — 16k^2 — 8k + 24 = 25 = 5^2 \)
Найдём корни по формуле:
\( x_1 = \frac{4k + 1 — 5}{2} = \frac{4k — 4}{2} = \frac{2(2k — 2)}{2} = 2k — 2 \)
\( x_2 = \frac{4k + 1 + 5}{2} = \frac{4k + 6}{2} = \frac{2(2k + 3)}{2} = 2k + 3 \)
Ответ: \( x = 2k — 2, \quad x = 2k + 3 \)
Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 — (4k + 1)x + 2(2k^2 + k — 3) = 0 \), где \( k \) — параметр. Для решения этого уравнения необходимо найти дискриминант, который позволит определить, имеет ли уравнение действительные корни, и если да, то какие именно. Дискриминант квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \). В нашем случае коэффициенты равны: \( a = 1 \), \( b = -(4k + 1) \), \( c = 2(2k^2 + k — 3) \).
Вычислим дискриминант пошагово. Сначала найдём \( b^2 = (-(4k + 1))^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 \). Затем вычислим произведение \( 4ac = 4 \cdot 1 \cdot 2(2k^2 + k — 3) = 8(2k^2 + k — 3) = 16k^2 + 8k — 24 \). Теперь найдём дискриминант: \( D = 16k^2 + 8k + 1 — (16k^2 + 8k — 24) = 16k^2 + 8k + 1 — \)
\( — 16k^2 — 8k + 24 = 25 = 5^2 \). Полученный результат показывает, что дискриминант равен 25, что является полным квадратом. Это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня при любом значении параметра \( k \).
Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставим наши значения: \( x = \frac{(4k + 1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{(4k + 1) \pm 5}{2} \). Для первого корня используем знак минус: \( x_1 = \frac{4k + 1 — 5}{2} = \frac{4k — 4}{2} \). Упростим это выражение, вынеся общий множитель: \( x_1 = \frac{2(2k — 2)}{2} = 2k — 2 \). Для второго корня используем знак плюс: \( x_2 = \frac{4k + 1 + 5}{2} = \frac{4k + 6}{2} \). Аналогично упростим: \( x_2 = \frac{2(2k + 3)}{2} = 2k + 3 \).
Полученные корни \( x_1 = 2k — 2 \) и \( x_2 = 2k + 3 \) зависят от параметра \( k \). Это означает, что при каждом конкретном значении \( k \) мы получаем определённую пару корней. Например, если \( k = 0 \), то корни равны \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 3 \); если \( k = 1 \), то \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 5 \). Разность между корнями всегда постоянна и равна \( (2k + 3) — (2k — 2) = 5 \), что соответствует значению \( \sqrt{D} = 5 \). Оба корня являются линейными функциями параметра \( k \), что позволяет легко вычислить их для любого конкретного значения параметра.
Таким образом, решение исходного квадратного уравнения с параметром \( k \) даёт нам два корня: \( x = 2k — 2 \) и \( x = 2k + 3 \). Эти корни справедливы для всех действительных значений параметра \( k \), поскольку дискриминант всегда положителен и не зависит от \( k \). Полученные формулы позволяют быстро найти корни уравнения при любом значении параметра, не требуя повторного вычисления дискриминанта.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!