ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 742 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выясните, при каких значениях параметра \( b \) равна 7 сумма корней уравнения

\( y^2 — (2b — 1)y + b^2 — b — 2 = 0 \).

Дано квадратное уравнение \( y^2 — (2b — 1)y + b^2 — b — 2 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \).

По теореме Виета сумма корней равна коэффициенту при \( y \):

\( x_1 + x_2 = 2b — 1 = 7 \)

Решаем уравнение:

\( 2b — 1 = 7 \)

\( 2b = 8 \)

\( b = 4 \)

Ответ: при \( b = 4 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( y^2 — (2b — 1)y + b^2 — b — 2 = 0 \), в котором необходимо найти значение параметра \( b \), при котором корни уравнения удовлетворяют определённому условию. Данное уравнение имеет стандартный вид \( ay^2 + cy + d = 0 \), где коэффициент при \( y^2 \) равен 1, коэффициент при \( y \) равен \( -(2b — 1) \), а свободный член составляет \( b^2 — b — 2 \). Для решения задачи применяется теорема Виета, которая устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения \( y^2 + py + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) справедливо, что сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 \cdot x_2 = q \). В нашем случае уравнение можно переписать в виде \( y^2 — (2b — 1)y + (b^2 — b — 2) = 0 \), поэтому сумма корней составляет \( x_1 + x_2 = 2b — 1 \). По условию задачи, которое видно из решения на изображении, требуется, чтобы сумма корней равнялась 7, то есть \( x_1 + x_2 = 7 \).

Составляем уравнение на основе условия равенства суммы корней числу 7. Приравниваем выражение для суммы корней к требуемому значению: \( 2b — 1 = 7 \). Это линейное уравнение решается путём последовательного применения операций. Сначала добавляем 1 к обеим частям уравнения: \( 2b — 1 + 1 = 7 + 1 \), что даёт \( 2b = 8 \). Затем делим обе части на 2 для выделения переменной \( b \): \( \frac{2b}{2} = \frac{8}{2} \), откуда получаем \( b = 4 \).

Полученное значение \( b = 4 \) является единственным решением задачи. Это значение параметра обеспечивает выполнение условия, что сумма корней квадратного уравнения равна 7. Проверка корректности решения может быть выполнена путём подстановки \( b = 4 \) в исходное уравнение и вычисления корней, однако в данном случае достаточно применения теоремы Виета, которая гарантирует правильность найденного значения параметра при условии существования действительных корней уравнения.