ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 744 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите относительно \( x \) уравнение:

а) \( x^2 = a \)

б) \( x^2 = a^2 \)

в) \( x^2 + 4b = 0 \)

г) \( x^2 + 9b^2 = 0 \)

а) \( x^2 = a \) при \( a \geq 0: \) \( x = \pm\sqrt{a}. \) при \( a < 0 \) — нет смысла. б) \( x^2 = a^2 \) \( x = \pm\sqrt{a^2} = \pm|a|. \) в) \( x^2 + 4b = 0 \) \( x^2 = -4b \) при \( b \leq 0: \) \( x = \pm\sqrt{-4b} = \pm 2\sqrt{-b}. \) при \( b > 0 \) — нет смысла.

г) \( x^2 + 9b^2 = 0 \) \( x^2 = -9b^2 \) при \( b = 0: \) \( x = 0. \) при \( b \neq 0 \) — нет смысла.

а) \( x^2 = a \) при \( a \geq 0: \) \( x = \pm\sqrt{a}. \) Уравнение вида \( x^2 = a \) решается путём извлечения квадратного корня из обеих частей. Когда параметр \( a \) больше или равен нулю, уравнение имеет два решения: положительное и отрицательное значения корня из \( a \). Оба значения при возведении в квадрат дают исходное число \( a \), поскольку \( \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \) и \( \left(-\sqrt{a}\right)^2 = a \).

При \( a < 0 \) — нет смысла. Когда параметр \( a \) принимает отрицательное значение, уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Это объясняется тем, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен: \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \). Следовательно, невозможно найти действительное число, квадрат которого равен отрицательному числу, поэтому решений не существует. б) \( x^2 = a^2 \) \( x = \pm\sqrt{a^2} = \pm|a|. \) Когда уравнение содержит квадрат параметра, решение требует использования определения абсолютной величины. Извлекая квадратный корень из \( a^2 \), мы получаем \( |a| \) — модуль числа \( a \), который всегда неотрицателен независимо от знака самого параметра \( a \). Это означает, что если \( a \) положительно, то \( |a| = a \), а если \( a \) отрицательно, то \( |a| = -a \). Решение \( x = \pm|a| \) дает два значения: \( x = |a| \) и \( x = -|a| \). Оба этих значения при возведении в квадрат дают \( a^2 \), что подтверждает правильность решения. Данное уравнение всегда имеет решение для любого значения параметра \( a \), включая случаи, когда \( a = 0 \), при котором оба решения совпадают и равны нулю. в) \( x^2 + 4b = 0 \) \( x^2 = -4b \) при \( b \leq 0: \) \( x = \pm\sqrt{-4b} = \pm 2\sqrt{-b}. \) Для решения этого уравнения необходимо сначала перенести свободный член в правую часть, получив \( x^2 = -4b \). Чтобы уравнение имело решения в действительных числах, выражение под корнем \( -4b \) должно быть неотрицательным. Это условие выполняется только при \( -4b \geq 0 \), что эквивалентно \( b \leq 0 \). Когда условие \( b \leq 0 \) выполнено, мы можем извлечь квадратный корень: \( x = \pm\sqrt{-4b} = \pm\sqrt{4 \cdot (-b)} = \pm 2\sqrt{-b} \). Здесь число \( -b \) положительно (поскольку \( b \) неположительно), поэтому корень из него существует. Решение представляет собой два противоположных по знаку значения, каждое из которых при подстановке в исходное уравнение обращает его в верное равенство. При \( b > 0 \) — нет смысла. Если параметр \( b \) положителен, то выражение \( -4b \) становится отрицательным. В этом случае невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа в множестве действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, при \( b > 0 \) уравнение не имеет решений в действительных числах.

г) \( x^2 + 9b^2 = 0 \) \( x^2 = -9b^2 \) при \( b = 0: \) \( x = 0. \) Переносим \( 9b^2 \) в правую часть и получаем \( x^2 = -9b^2 \). Для того чтобы это уравнение имело решения, необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной. Поскольку \( b^2 \geq 0 \) для всех действительных \( b \), то \( -9b^2 \leq 0 \). Равенство \( x^2 = -9b^2 \) может выполняться только в случае, когда обе части равны нулю, то есть когда \( b = 0 \).

Когда \( b = 0 \), уравнение принимает вид \( x^2 = 0 \), откуда следует единственное решение \( x = 0 \). Это решение имеет смысл, поскольку ноль в квадрате действительно равен нулю. При \( b \neq 0 \) — нет смысла. Если параметр \( b \) отличен от нуля, то \( 9b^2 > 0 \), и следовательно, \( -9b^2 < 0 \). Уравнение \( x^2 = -9b^2 \) при отрицательной правой части не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.