ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 745 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:

а) \( a^2 + 4a + 11 \)

б) \( \frac{x^2 — 2x + 7}{19} \)

в) \( m^2 — 4m + 51 \)

г) \( \frac{p^2 — 6p + 18}{p^2 + 1} \)

д) \( 2b^2 — 8b + 20 \)

е) \( \frac{2c^2 + 3}{c^2 + 12c + 40} \)

а) \(a^2 + 4a + 11 = a^2 + 4a + 4 + 7 = (a + 2)^2 + 7,\)
\((a + 2)^2 \geq 0,\quad 7 > 0.\)

б) \(\frac{x^2 — 2x + 7}{19} = \frac{x^2 — 2x + 1 + 6}{19} = \frac{(x — 1)^2 + 6}{19},\)
\((x — 1)^2 \geq 0,\quad 6 > 0,\quad 19 > 0.\)

в) \(m^2 — 4m + 51 = m^2 — 4m + 4 + 47 = (m — 2)^2 + 47,\)
\((m — 2)^2 \geq 0,\quad 47 > 0.\)

г) \(\frac{p^2 — 6p + 18}{p^2 + 1} = \frac{p^2 — 6p + 9 + 9}{p^2 + 1} = \frac{(p — 3)^2 + 9}{p^2 + 1},\)
\((p — 3)^2 \geq 0,\quad 9 > 0,\quad p^2 + 1 > 0.\)

д) \(2b^2 — 8b + 20 = 2(b^2 — 4b + 10) = 2(b^2 — 4b + 4 + 6) =\) \(= 2((b — 2)^2 + 6),\)
\((b — 2)^2 \geq 0,\quad 6 > 0,\quad 2 > 0.\)

е) \(\frac{2c^2 + 18}{c^2 + 12c + 40} = \frac{2(c^2 + 9)}{c^2 + 12c + 36 + 4} = \frac{2(c^2 + 9)}{(c + 6)^2 + 4},\)
\((c^2 + 9) > 0,\quad 2 > 0,\quad (c + 6)^2 \geq 0,\quad 4 > 0.\)

а) \(a^2 + 4a + 11 = a^2 + 4a + 4 + 7 = (a + 2)^2 + 7,\)
здесь мы разложили выражение на полный квадрат и константу. Полный квадрат \((a + 2)^2\) всегда неотрицателен, то есть \((a + 2)^2 \geq 0\). Поскольку к нему прибавляется положительное число 7, сумма всегда положительна. Это показывает, что исходное выражение не может принимать отрицательных значений.

Таким образом, мы выделили полный квадрат, чтобы упростить анализ знака выражения, и подтвердили, что \(7 > 0\), что гарантирует положительность всего выражения.

б) \(\frac{x^2 — 2x + 7}{19} = \frac{x^2 — 2x + 1 + 6}{19} = \frac{(x — 1)^2 + 6}{19},\)
в числителе выделен полный квадрат \((x — 1)^2\), который неотрицателен, а также добавлено положительное число 6. Знаменатель 19 — положительное число.

Это означает, что дробь всегда положительна, так как числитель и знаменатель положительны. Выделение полного квадрата помогает легко увидеть, что числитель не может быть отрицательным.

в) \(m^2 — 4m + 51 = m^2 — 4m + 4 + 47 = (m — 2)^2 + 47,\)
выделение полного квадрата \((m — 2)^2\) показывает, что часть выражения неотрицательна. К ней добавлено число 47, которое положительно.

Поэтому сумма всегда больше нуля, что доказывает, что исходное выражение не может быть отрицательным и всегда положительно для всех значений \(m\).

г) \(\frac{p^2 — 6p + 18}{p^2 + 1} = \frac{p^2 — 6p + 9 + 9}{p^2 + 1} = \frac{(p — 3)^2 + 9}{p^2 + 1},\)
в числителе выделен полный квадрат \((p — 3)^2\), который неотрицателен, и добавлено 9, что положительно. Знаменатель \(p^2 + 1\) всегда положителен, так как \(p^2 \geq 0\) и прибавлено 1.

Таким образом, дробь положительна для всех значений \(p\). Выделение полного квадрата упрощает проверку знака числителя и знаменателя.

д) \(2b^2 — 8b + 20 = 2(b^2 — 4b + 10) = 2(b^2 — 4b + 4 + 6) =\) \(= 2((b — 2)^2 + 6),\)
мы вынесли множитель 2 и выделили полный квадрат \((b — 2)^2\), который неотрицателен, а также добавили 6 — положительное число.

Поскольку множитель 2 положителен, а сумма внутри скобок положительна, выражение всегда положительно для всех \(b\). Это показывает, что исходное выражение неотрицательно.

е) \(\frac{2c^2 + 18}{c^2 + 12c + 40} = \frac{2(c^2 + 9)}{c^2 + 12c + 36 + 4} = \frac{2(c^2 + 9)}{(c + 6)^2 + 4},\)
числитель содержит \(c^2 + 9\), которое всегда положительно, так как \(c^2 \geq 0\) и прибавлено 9. Знаменатель представлен в виде суммы полного квадрата \((c + 6)^2\), который неотрицателен, и 4 — положительного числа.

Множитель 2 в числителе положителен, знаменатель всегда положителен, значит дробь всегда положительна для всех значений \(c\). Выделение полного квадрата в знаменателе упрощает анализ знака.