ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 747 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \( 4x^2 + 7x + 3 = 0 \)

б) \( x^2 + x — 56 = 0 \)

в) \( x^2 — x — 56 = 0 \)

г) \( 5x^2 — 18x + 16 = 0 \)

д) \( 8x^2 + x — 75 = 0 \)

е) \( 3x^2 — 11x — 14 = 0 \)

ж) \( 3x^2 + 11x — 34 = 0 \)

з) \( x^2 — x — 1 = 0 \)

а) \( 4x^2 + 7x + 3 = 0 \)

\( D = 49 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1 \)

\( x_1 = \frac{-7 — 1}{8} = \frac{-8}{8} = -1, \quad x_2 = \frac{-7 + 1}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \)

Ответ: \( x = -1, \quad x = -\frac{3}{4} \)

б) \( x^2 + x — 56 = 0 \)

\( D = 1 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225 = 15^2 \)

\( x_1 = \frac{-1 — 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8, \quad x_2 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)

Ответ: \( x = -8, \quad x = 7 \)

в) \( x^2 — x — 56 = 0 \)

\( D = 1 + 4 \cdot 56 = 225 = 15^2 \)

\( x_1 = \frac{1 — 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

Ответ: \( x = -7, \quad x = 8 \)

г) \( 5x^2 — 18x + 16 = 0 \)

\( D = 324 — 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 — 320 = 4 = 2^2 \)

\( x_1 = \frac{18 — 2}{10} = \frac{16}{10} = 1{,}6, \quad x_2 = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2 \)

Ответ: \( x = 1{,}6; \quad x = 2 \)

г) \( 5x^2 — 18x + 16 = 0 \)

\( D = 324 — 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 — 320 = 4 = 2^2 \)

\( x_1 = \frac{18 — 2}{10} = \frac{16}{10} = 1{,}6, \quad x_2 = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2 \)

Ответ: \( x = 1{,}6; \quad x = 2 \)

д) \( 8x^2 + x — 75 = 0 \)

\( D = 1 + 4 \cdot 8 \cdot 75 = 1 + 2400 = 2401 = 49^2 \)

\( x_1 = \frac{-1 — 49}{16} = \frac{-50}{16} = -\frac{25}{8} = -3\frac{1}{8}, \quad x_2 = \frac{-1 + 49}{16} = \frac{48}{16} = 3 \)

Ответ: \( x = -3\frac{1}{8}; \quad x = 3 \)

е) \( 3x^2 — 11x — 14 = 0 \)

\( D = 121 + 4 \cdot 3 \cdot 14 = 121 + 168 = 289 = 17^2 \)

\( x_1 = \frac{11 — 17}{6} = \frac{-6}{6} = -1, \quad x_2 = \frac{11 + 17}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \)

Ответ: \( x = -1; \quad x = 4\frac{2}{3} \)

ж) \( 3x^2 + 11x — 34 = 0 \)

\( D = 121 + 4 \cdot 3 \cdot 34 = 121 + 408 = 529 = 23^2 \)

\( x_1 = \frac{-11 — 23}{6} = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3} = -5\frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{-11 + 23}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)

Ответ: \( x = -5\frac{2}{3}; \quad x = 2 \)

з) \( x^2 — x — 1 = 0 \)

\( D = 1 + 4 = 5 = \left(\sqrt{5}\right)^2 \)

\( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

а) \( 4x^2 + 7x + 3 = 0 \)

Для решения квадратного уравнения применяем формулу дискриминанта \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 4 \), \( b = 7 \), \( c = 3 \). Вычисляем: \( D = 49 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 — 48 = 1 \). Дискриминант равен единице, что означает наличие двух различных действительных корней. Поскольку дискриминант является полным квадратом \( 1 = 1^2 \), корни будут рациональными числами.

Используя формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), находим первый корень: \( x_1 = \frac{-7 — 1}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \). Второй корень вычисляется как: \( x_2 = \frac{-7 + 1}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \). Оба корня отрицательны, что логично, так как сумма коэффициентов уравнения положительна, а свободный член положительный.

б) \( x^2 + x — 56 = 0 \)

Здесь коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -56 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 1 + 4 \cdot 1 \cdot 56 = 1 + 224 = 225 \). Заметим, что \( 225 = 15^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что гарантирует рациональные корни. Положительное значение дискриминанта указывает на существование двух различных корней.

Применяя формулу корней, получаем: \( x_1 = \frac{-1 — 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7 \). Первый корень отрицателен, второй положителен. Проверка: произведение корней равно \( -8 \cdot 7 = -56 \), что совпадает со свободным членом, а сумма корней равна \( -8 + 7 = -1 \), что соответствует коэффициенту при \( x \) с противоположным знаком.

в) \( x^2 — x — 56 = 0 \)

В этом уравнении \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -56 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 1 + 4 \cdot 1 \cdot 56 = 1 + 224 = 225 = 15^2 \). Дискриминант снова является полным квадратом, обеспечивая рациональные корни. Отличие от предыдущего уравнения состоит в знаке коэффициента при \( x \), что повлияет на значения корней.

Находим корни по формуле: \( x_1 = \frac{1 — 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8 \). Первый корень отрицателен, второй положителен. Проверка показывает, что произведение корней \( -7 \cdot 8 = -56 \) равно свободному члену, а сумма \( -7 + 8 = 1 \) соответствует коэффициенту при \( x \) с противоположным знаком.

г) \( 5x^2 — 18x + 16 = 0 \)

Коэффициенты уравнения: \( a = 5 \), \( b = -18 \), \( c = 16 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 324 — 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 — 320 = 4 = 2^2 \). Дискриминант положителен и является полным квадратом, что гарантирует два различных рациональных корня. Относительно небольшое значение дискриминанта указывает на то, что корни будут близки друг к другу.

По формуле корней получаем: \( x_1 = \frac{18 — 2}{10} = \frac{16}{10} = 1{,}6 \) и \( x_2 = \frac{18 + 2}{10} = \frac{20}{10} = 2 \). Оба корня положительны и близки по величине. Проверка: произведение корней равно \( 1{,}6 \cdot 2 = 3{,}2 = \frac{16}{5} \), что соответствует \( \frac{c}{a} = \frac{16}{5} \), а сумма корней равна \( 1{,}6 + 2 = 3{,}6 = \frac{18}{5} \), что равно \( \frac{-b}{a} = \frac{18}{5} \).

д) \( 8x^2 + x — 75 = 0 \)

Здесь \( a = 8 \), \( b = 1 \), \( c = -75 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 1 + 4 \cdot 8 \cdot 75 = 1 + 2400 = 2401 \). Заметим, что \( 2401 = 49^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом. Большое значение дискриминанта указывает на значительное расстояние между корнями. Положительный дискриминант гарантирует существование двух различных действительных корней.

Применяя формулу корней, находим: \( x_1 = \frac{-1 — 49}{16} = \frac{-50}{16} = -\frac{25}{8} \). Преобразуем в смешанное число: \( -\frac{25}{8} = -3\frac{1}{8} \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-1 + 49}{16} = \frac{48}{16} = 3 \). Первый корень отрицателен и представляет собой неправильную дробь, второй корень положителен и целый. Проверка: произведение корней равно \( -\frac{25}{8} \cdot 3 = -\frac{75}{8} \), что соответствует \( \frac{c}{a} = \frac{-75}{8} \).

е) \( 3x^2 — 11x — 14 = 0 \)

Коэффициенты: \( a = 3 \), \( b = -11 \), \( c = -14 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 121 + 4 \cdot 3 \cdot 14 = 121 + 168 = 289 \). Дискриминант равен \( 289 = 17^2 \), что является полным квадратом, обеспечивая рациональные корни. Положительное значение дискриминанта гарантирует два различных действительных корня.

Находим корни: \( x_1 = \frac{11 — 17}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \) и \( x_2 = \frac{11 + 17}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} \). Преобразуем второй корень в смешанное число: \( \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \). Первый корень целый и отрицательный, второй корень положительный и представляет собой неправильную дробь. Проверка показывает, что произведение корней равно \( -1 \cdot \frac{14}{3} = -\frac{14}{3} \), что соответствует \( \frac{c}{a} = \frac{-14}{3} \).

ж) \( 3x^2 + 11x — 34 = 0 \)

Коэффициенты уравнения: \( a = 3 \), \( b = 11 \), \( c = -34 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 121 + 4 \cdot 3 \cdot 34 = 121 + 408 = 529 \). Дискриминант равен \( 529 = 23^2 \), что является полным квадратом. Это гарантирует наличие двух различных рациональных корней. Положительное значение дискриминанта подтверждает существование двух действительных корней.

По формуле корней получаем: \( x_1 = \frac{-11 — 23}{6} = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3} \). Преобразуем в смешанное число: \( -\frac{17}{3} = -5\frac{2}{3} \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-11 + 23}{6} = \frac{12}{6} = 2 \). Первый корень отрицателен и представляет собой неправильную дробь, второй корень положителен и целый. Проверка: произведение корней равно \( -\frac{17}{3} \cdot 2 = -\frac{34}{3} \), что соответствует \( \frac{c}{a} = \frac{-34}{3} \).

з) \( x^2 — x — 1 = 0 \)

Коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 + 4 = 5 \). Дискриминант равен пяти, что не является полным квадратом целого числа. Это означает, что корни будут иррациональными числами, содержащими корень из пяти. Положительное значение дискриминанта гарантирует существование двух различных действительных корней.

Применяя формулу корней, находим: \( x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Первый корень равен \( x_1 = \frac{1 — \sqrt{5}}{2} \), что является отрицательным числом, так как \( \sqrt{5} \approx 2{,}236 \) и \( 1 — \sqrt{5} \approx -1{,}236 \). Второй корень равен \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \), что является положительным числом, приблизительно равным \( 1{,}618 \). Это значение известно как золотое сечение в математике. Оба корня иррациональны и выражаются через радикал.