Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 748 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
При каких значениях \( x \) верно равенство:
а) \( (5x + 3)^2 = 5(x + 3) \)
б) \( (3x + 10)^2 = 3(x + 10) \)
в) \( (3x — 8)^2 = 3x^2 — 8x \)
г) \( (4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x \)
д) \( (5x + 3)^2 = 5x + 3 \)
е) \( (5x + 3)^2 = (3x + 5)^2 \)
ж) \( (4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2 \)
з) \( (2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2 \)
а) \( (5x + 3)^2 = 5(x + 3) \)
\( 25x^2 + 30x + 9 — 5x — 15 = 0 \)
\( 25x^2 + 25x — 6 = 0 \)
\( D = 625 + 4 \cdot 25 \cdot 6 = 625 + 600 = 1225 = 35^2 \)
\( x_1 = \frac{-25 — 35}{50} = \frac{-60}{50} = -1,2; \quad x_2 = \frac{-25 + 35}{50} = \frac{10}{50} = 0,2 \)
Ответ: \( x = -1,2; x = 0,2 \)
б) \( (3x + 10)^2 = 3(x + 10) \)
\( 9x^2 + 60x + 100 — 3x — 30 = 0 \)
\( 9x^2 + 57x + 70 = 0 \)
\( D = 3249 — 4 \cdot 9 \cdot 70 = 3249 — 2520 = 729 = 27^2 \)
\( x_1 = \frac{-57 — 27}{18} = \frac{-84}{18} = -\frac{14}{3}; \quad x_2 = \frac{-57 + 27}{18} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} \)
Ответ: \( x = -\frac{14}{3}; x = -\frac{5}{3} \)
в) \( (3x — 8)^2 = 3x^2 — 8x \)
\( 9x^2 — 48x + 64 — 3x^2 + 8x = 0 \)
\( 6x^2 — 40x + 64 = 0 \mid : 2 \)
\( 3x^2 — 20x + 32 = 0 \)
\( D = 400 — 4 \cdot 3 \cdot 32 = 400 — 384 = 16 = 4^2 \)
\( x_1 = \frac{20 — 4}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}; \quad x_2 = \frac{20 + 4}{6} = \frac{24}{6} = 4 \)
Ответ: \( x = \frac{8}{3}; x = 4 \)
г) \( (4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x \)
\( 16x^2 + 40x + 25 — 5x^2 — 4x = 0 \)
\( 11x^2 + 36x + 25 = 0 \)
\( D = 1296 — 4 \cdot 11 \cdot 25 = 1296 — 1100 = 196 = 14^2 \)
\( x_1 = \frac{-36 — 14}{22} = \frac{-50}{22} = -\frac{25}{11}; \quad x_2 = \frac{-36 + 14}{22} = \frac{-22}{22} = -1 \)
Ответ: \( x = -\frac{25}{11}; x = -1 \)
д) \( (5x + 3)^2 = 5x + 3 \)
\( 25x^2 + 30x + 9 — 5x — 3 = 0 \)
\( 25x^2 + 25x + 6 = 0 \)
\( D = 625 — 4 \cdot 25 \cdot 6 = 625 — 600 = 25 = 5^2 \)
\( x_1 = \frac{-25 — 5}{50} = \frac{-30}{50} = -0,6; \quad x_2 = \frac{-25 + 5}{50} = \frac{-20}{50} = -0,4 \)
Ответ: \( x = -0,6; x = -0,4 \)
е) \( (5x + 3)^2 = (3x + 5)^2 \)
\( 25x^2 + 30x + 9 — 9x^2 — 30x — 25 = 0 \)
\( 16x^2 — 16 = 0 \)
\( 16x^2 = 16 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = \pm 1 \)
Ответ: \( x = \pm 1 \)
ж) \( (4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2 \)
\( 16x^2 + 40x + 25 — 4(x^2 + 10x + 25) = 0 \)
\( 16x^2 + 40x + 25 — 4x^2 — 40x — 100 = 0 \)
\( 12x^2 — 75 = 0 \)
\( 12x^2 = 75 \)
\( x^2 = 6,25 \)
\( x = \pm 2,5 \)
Ответ: \( x = \pm 2,5 \)
з) \( (2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2 \)
\( 4x^2 + 40x + 100 — 4(x^2 + 10x + 25) = 0 \)
\( 4x^2 + 40x + 100 — 4x^2 — 40x — 100 = 0 \)
\( 0 = 0 \)
Ответ: \( x \) — любое число
а) \( (5x + 3)^2 = 5(x + 3) \) Раскроем скобки слева, используя формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), получаем \( 25x^2 + 30x + 9 \). Справа раскроем скобки: \( 5x + 15 \). Перенесём все в левую часть и приведём подобные члены: \( 25x^2 + 30x + 9 — 5x — 15 = 0 \), что упрощается до \( 25x^2 + 25x — 6 = 0 \).
Для решения квадратного уравнения найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 25 \), \( b = 25 \), \( c = -6 \). Вычислим: \( D = 625 + 4 \cdot 25 \cdot 6 = 625 + 600 = 1225 = 35^2 \). Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня. Применим формулу корней: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 \pm 35}{50} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-25 — 35}{50} = \frac{-60}{50} = -1,2 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-25 + 35}{50} = \frac{10}{50} = 0,2 \).
б) \( (3x + 10)^2 = 3(x + 10) \) Раскроем левую часть: \( 9x^2 + 60x + 100 \). Раскроем правую часть: \( 3x + 30 \). Перенесём всё в левую часть: \( 9x^2 + 60x + 100 — 3x — 30 = 0 \), упрощаем до \( 9x^2 + 57x + 70 = 0 \).
Вычислим дискриминант: \( D = 57^2 — 4 \cdot 9 \cdot 70 = 3249 — 2520 = 729 = 27^2 \). Дискриминант положителен, поэтому два различных корня. Найдём их: \( x = \frac{-57 \pm 27}{18} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-57 — 27}{18} = \frac{-84}{18} = -\frac{14}{3} \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-57 + 27}{18} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} \).
в) \( (3x — 8)^2 = 3x^2 — 8x \) Раскроем левую часть по формуле квадрата разности: \( 9x^2 — 48x + 64 \). Перенесём правую часть влево: \( 9x^2 — 48x + 64 — 3x^2 + 8x = 0 \). Приведём подобные члены: \( 6x^2 — 40x + 64 = 0 \). Разделим всё уравнение на 2 для упрощения: \( 3x^2 — 20x + 32 = 0 \).
Найдём дискриминант: \( D = 400 — 4 \cdot 3 \cdot 32 = 400 — 384 = 16 = 4^2 \). Поскольку дискриминант положителен, имеем два корня. Применим формулу: \( x = \frac{20 \pm 4}{6} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{20 — 4}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \). Второй корень: \( x_2 = \frac{20 + 4}{6} = \frac{24}{6} = 4 \).
г) \( (4x + 5)^2 = 5x^2 + 4x \) Раскроем квадрат слева: \( 16x^2 + 40x + 25 \). Перенесём правую часть влево: \( 16x^2 + 40x + 25 — 5x^2 — 4x = 0 \). После приведения подобных получаем: \( 11x^2 + 36x + 25 = 0 \).
Вычислим дискриминант: \( D = 1296 — 4 \cdot 11 \cdot 25 = 1296 — 1100 = 196 = 14^2 \). Дискриминант положителен, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле: \( x = \frac{-36 \pm 14}{22} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-36 — 14}{22} = \frac{-50}{22} = -\frac{25}{11} \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-36 + 14}{22} = \frac{-22}{22} = -1 \).
д) \( (5x + 3)^2 = 5x + 3 \) Раскроем левую часть: \( 25x^2 + 30x + 9 \). Перенесём правую часть влево: \( 25x^2 + 30x + 9 — 5x — 3 = 0 \). Упрощаем: \( 25x^2 + 25x + 6 = 0 \).
Найдём дискриминант: \( D = 625 — 4 \cdot 25 \cdot 6 = 625 — 600 = 25 = 5^2 \). Дискриминант положителен, поэтому два корня. Применим формулу корней: \( x = \frac{-25 \pm 5}{50} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{-25 — 5}{50} = \frac{-30}{50} = -0,6 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-25 + 5}{50} = \frac{-20}{50} = -0,4 \).
е) \( (5x + 3)^2 = (3x + 5)^2 \) Раскроем обе части: слева \( 25x^2 + 30x + 9 \), справа \( 9x^2 + 30x + 25 \). Перенесём всё в левую часть: \( 25x^2 + 30x + 9 — 9x^2 — 30x — 25 = 0 \). Заметим, что члены \( 30x \) взаимно сокращаются, получаем: \( 16x^2 — 16 = 0 \).
Это уравнение можно решить без дискриминанта. Разделим на 16: \( x^2 — 1 = 0 \), откуда \( x^2 = 1 \). Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем \( x = \pm 1 \). Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \).
ж) \( (4x + 5)^2 = 4(x + 5)^2 \) Раскроем левую часть: \( 16x^2 + 40x + 25 \). Раскроем правую часть, сначала найдя \( (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \), затем умножим на 4: \( 4x^2 + 40x + 100 \). Перенесём всё в левую часть: \( 16x^2 + 40x + 25 — 4x^2 — 40x — 100 = 0 \).
После приведения подобных членов члены \( 40x \) сокращаются, и получаем: \( 12x^2 — 75 = 0 \). Разделим на 3 для упрощения: \( 4x^2 — 25 = 0 \), откуда \( 4x^2 = 25 \), то есть \( x^2 = 6,25 \). Извлекая квадратный корень: \( x = \pm 2,5 \). Уравнение имеет два корня: \( x_1 = -2,5 \) и \( x_2 = 2,5 \).
з) \( (2x + 10)^2 = 4(x + 5)^2 \) Раскроем левую часть: \( 4x^2 + 40x + 100 \). Раскроем правую часть: \( (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \), затем умножим на 4, получаем \( 4x^2 + 40x + 100 \). Перенесём всё в левую часть: \( 4x^2 + 40x + 100 — 4x^2 — 40x — 100 = 0 \).
После приведения подобных членов все слагаемые сокращаются, и мы получаем тождество \( 0 = 0 \). Это означает, что исходное уравнение является тождеством, то есть оно верно при любых значениях переменной \( x \). Следовательно, решением уравнения является множество всех действительных чисел, или можно сказать, что \( x \) — любое число.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!