ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 749 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение и выполните проверку:

а) \( x^2 — 2x — 5 = 0 \)

б) \( x^2 + 4x + 1 = 0 \)

в) \( 3y^2 — 4y — 2 = 0 \)

г) \( 5y^2 — 7y + 1 = 0 \)

д) \( 2y^2 + 11y + 10 = 0 \)

е) \( 4x^2 — 9x — 2 = 0 \)

а) \( x^2 — 2x — 5 = 0 \)

\( D = 4 + 4 \cdot 5 = 4 + 20 = 24 = 2\sqrt{6} \)

\( x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} \)

Проверка: \( x_1 + x_2 = 1 + \sqrt{6} + 1 — \sqrt{6} = 2 \) — верно.

\( x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{6})(1 — \sqrt{6}) = 1 — 6 = -5 \) — верно.

б) \( x^2 + 4x + 1 = 0 \)

\( D = 16 — 4 = 12 = 2\sqrt{3} \)

\( x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3} \)

Проверка: \( x_1 + x_2 = -2 + \sqrt{3} — 2 — \sqrt{3} = -4 \) — верно.

\( x_1 \cdot x_2 = (-2 + \sqrt{3})(-2 — \sqrt{3}) = 4 — 3 = 1 \) — верно.

в) \( 3y^2 — 4y — 2 = 0 \)

\( D = 16 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 + 24 = 40 = 2\sqrt{10} \)

\( y_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3} \)

Проверка: \( y_1 + y_2 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3} + \frac{2 — \sqrt{10}}{3} = \frac{4}{3} \) — верно.

\( y_1 \cdot y_2 = \frac{(2 + \sqrt{10})(2 — \sqrt{10})}{9} = \frac{4 — 10}{9} = -\frac{2}{3} \) — верно.

г) \( 2y^2 + 11y + 10 = 0 \)

\( D = 121 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 — 80 = 41 = \sqrt{41} \)

\( y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4} \)

Проверка: \( y_1 + y_2 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4} + \frac{-11 — \sqrt{41}}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5 \) — верно.

\( y_1 \cdot y_2 = \frac{(-11 + \sqrt{41})(-11 — \sqrt{41})}{16} = \frac{121 — 41}{16} = \frac{80}{16} = 5 \) — верно.

д) \( 4x^2 — 9x — 2 = 0 \)

\( D = 81 + 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 + 32 = 113 = \sqrt{113} \)

\( x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8} \)

Проверка: \( x_1 + x_2 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8} + \frac{9 — \sqrt{113}}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \) — верно.

\( x_1 \cdot x_2 = \frac{(9 + \sqrt{113})(9 — \sqrt{113})}{64} = \frac{81 — 113}{64} = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2} \) — верно.

е) \( 5y^2 — 7y + 1 = 0 \)

\( D = 49 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 — 20 = 29 = \sqrt{29} \)

\( y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10} \)

Проверка: \( y_1 + y_2 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10} + \frac{7 — \sqrt{29}}{10} = \frac{14}{10} = 1,4 \) — верно.

\( y_1 \cdot y_2 = \frac{(7 + \sqrt{29})(7 — \sqrt{29})}{100} = \frac{49 — 29}{100} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \) — верно.

а) \( x^2 — 2x — 5 = 0 \)

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта. Сначала находим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -5 \). Подставляем значения: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 \). Заметим, что \( 24 = 4 \cdot 6 \), поэтому \( \sqrt{D} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \).

По формуле корней квадратного уравнения \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) получаем: \( x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} \). Таким образом, \( x_1 = 1 + \sqrt{6} \) и \( x_2 = 1 — \sqrt{6} \).

Проверим корректность решения, используя теорему Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = 2 \): \( x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{6}) + (1 — \sqrt{6}) = 2 \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = -5 \): \( x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{6})(1 — \sqrt{6}) = 1^2 — (\sqrt{6})^2 = 1 — 6 = -5 \) — верно.

б) \( x^2 + 4x + 1 = 0 \)

Находим дискриминант для уравнения, где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 1 \). Вычисляем: \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12 \). Преобразуем подкоренное выражение: \( 12 = 4 \cdot 3 \), поэтому \( \sqrt{D} = 2\sqrt{3} \).

Применяя формулу корней, получаем: \( x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3} \). Следовательно, \( x_1 = -2 + \sqrt{3} \) и \( x_2 = -2 — \sqrt{3} \).

Проверяем решение по теореме Виета. Сумма корней: \( x_1 + x_2 = (-2 + \sqrt{3}) + (-2 — \sqrt{3}) = -4 = -\frac{4}{1} \) — верно. Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = (-2 + \sqrt{3})(-2 — \sqrt{3}) = (-2)^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1 = \frac{1}{1} \) — верно.

в) \( 3y^2 — 4y — 2 = 0 \)

Для этого уравнения имеем \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = -2 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40 \). Упрощаем корень: \( 40 = 4 \cdot 10 \), поэтому \( \sqrt{D} = 2\sqrt{10} \).

По формуле корней получаем: \( y_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} \). Упростим дробь, вынеся общий множитель: \( y_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3} \). Таким образом, \( y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3} \) и \( y_2 = \frac{2 — \sqrt{10}}{3} \).

Проверим по теореме Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = \frac{4}{3} \): \( y_1 + y_2 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3} + \frac{2 — \sqrt{10}}{3} = \frac{4}{3} \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = -\frac{2}{3} \): \( y_1 \cdot y_2 = \frac{(2 + \sqrt{10})(2 — \sqrt{10})}{9} = \frac{4 — 10}{9} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3} \) — верно.

г) \( 2y^2 + 11y + 10 = 0 \)

Определяем коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = 11 \), \( c = 10 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 — 80 = 41 \). Так как \( 41 \) — простое число, корень из дискриминанта остается в виде \( \sqrt{41} \).

Применяем формулу корней: \( y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4} \). Получаем два корня: \( y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4} \) и \( y_2 = \frac{-11 — \sqrt{41}}{4} \).

Проверяем корректность по теореме Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = -\frac{11}{2} = -5,5 \): \( y_1 + y_2 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4} + \frac{-11 — \sqrt{41}}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5 \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = \frac{10}{2} = 5 \): \( y_1 \cdot y_2 = \frac{(-11 + \sqrt{41})(-11 — \sqrt{41})}{16} = \frac{121 — 41}{16} = \frac{80}{16} = 5 \) — верно.

д) \( 4x^2 — 9x — 2 = 0 \)

Имеем коэффициенты \( a = 4 \), \( b = -9 \), \( c = -2 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113 \). Число \( 113 \) не раскладывается на полные квадраты, поэтому оставляем корень в виде \( \sqrt{113} \).

По формуле корней получаем: \( x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8} \). Таким образом, \( x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8} \) и \( x_2 = \frac{9 — \sqrt{113}}{8} \).

Проверяем решение по теореме Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = \frac{9}{4} \): \( x_1 + x_2 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8} + \frac{9 — \sqrt{113}}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \): \( x_1 \cdot x_2 = \frac{(9 + \sqrt{113})(9 — \sqrt{113})}{64} = \frac{81 — 113}{64} = \frac{-32}{64} = -\frac{1}{2} \) — верно.

е) \( 5y^2 — 7y + 1 = 0 \)

Определяем коэффициенты: \( a = 5 \), \( b = -7 \), \( c = 1 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 — 20 = 29 \). Число \( 29 \) — простое число, поэтому \( \sqrt{D} = \sqrt{29} \) не упрощается.

Применяя формулу корней, получаем: \( y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10} \). Следовательно, \( y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10} \) и \( y_2 = \frac{7 — \sqrt{29}}{10} \).

Проверяем корректность по теореме Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = \frac{7}{5} = 1,4 \): \( y_1 + y_2 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10} + \frac{7 — \sqrt{29}}{10} = \frac{14}{10} = 1,4 \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = \frac{1}{5} \): \( y_1 \cdot y_2 = \frac{(7 + \sqrt{29})(7 — \sqrt{29})}{100} = \frac{49 — 29}{100} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \) — верно.