Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 749 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение и выполните проверку:
а) \( x^2 — 2x — 5 = 0 \)
б) \( x^2 + 4x + 1 = 0 \)
в) \( 3y^2 — 4y — 2 = 0 \)
г) \( 5y^2 — 7y + 1 = 0 \)
д) \( 2y^2 + 11y + 10 = 0 \)
е) \( 4x^2 — 9x — 2 = 0 \)
а) \( x^2 — 2x — 5 = 0 \)
\( D = 4 + 4 \cdot 5 = 4 + 20 = 24 = 2\sqrt{6} \)
\( x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} \)
Проверка: \( x_1 + x_2 = 1 + \sqrt{6} + 1 — \sqrt{6} = 2 \) — верно.
\( x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{6})(1 — \sqrt{6}) = 1 — 6 = -5 \) — верно.
б) \( x^2 + 4x + 1 = 0 \)
\( D = 16 — 4 = 12 = 2\sqrt{3} \)
\( x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3} \)
Проверка: \( x_1 + x_2 = -2 + \sqrt{3} — 2 — \sqrt{3} = -4 \) — верно.
\( x_1 \cdot x_2 = (-2 + \sqrt{3})(-2 — \sqrt{3}) = 4 — 3 = 1 \) — верно.
в) \( 3y^2 — 4y — 2 = 0 \)
\( D = 16 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 + 24 = 40 = 2\sqrt{10} \)
\( y_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3} \)
Проверка: \( y_1 + y_2 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3} + \frac{2 — \sqrt{10}}{3} = \frac{4}{3} \) — верно.
\( y_1 \cdot y_2 = \frac{(2 + \sqrt{10})(2 — \sqrt{10})}{9} = \frac{4 — 10}{9} = -\frac{2}{3} \) — верно.
г) \( 2y^2 + 11y + 10 = 0 \)
\( D = 121 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 — 80 = 41 = \sqrt{41} \)
\( y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4} \)
Проверка: \( y_1 + y_2 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4} + \frac{-11 — \sqrt{41}}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5 \) — верно.
\( y_1 \cdot y_2 = \frac{(-11 + \sqrt{41})(-11 — \sqrt{41})}{16} = \frac{121 — 41}{16} = \frac{80}{16} = 5 \) — верно.
д) \( 4x^2 — 9x — 2 = 0 \)
\( D = 81 + 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 + 32 = 113 = \sqrt{113} \)
\( x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8} \)
Проверка: \( x_1 + x_2 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8} + \frac{9 — \sqrt{113}}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \) — верно.
\( x_1 \cdot x_2 = \frac{(9 + \sqrt{113})(9 — \sqrt{113})}{64} = \frac{81 — 113}{64} = -\frac{32}{64} = -\frac{1}{2} \) — верно.
е) \( 5y^2 — 7y + 1 = 0 \)
\( D = 49 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 — 20 = 29 = \sqrt{29} \)
\( y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10} \)
Проверка: \( y_1 + y_2 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10} + \frac{7 — \sqrt{29}}{10} = \frac{14}{10} = 1,4 \) — верно.
\( y_1 \cdot y_2 = \frac{(7 + \sqrt{29})(7 — \sqrt{29})}{100} = \frac{49 — 29}{100} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \) — верно.
а) \( x^2 — 2x — 5 = 0 \)
Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта. Сначала находим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -5 \). Подставляем значения: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 \). Заметим, что \( 24 = 4 \cdot 6 \), поэтому \( \sqrt{D} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \).
По формуле корней квадратного уравнения \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) получаем: \( x_{1,2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} \). Таким образом, \( x_1 = 1 + \sqrt{6} \) и \( x_2 = 1 — \sqrt{6} \).
Проверим корректность решения, используя теорему Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = 2 \): \( x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{6}) + (1 — \sqrt{6}) = 2 \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = -5 \): \( x_1 \cdot x_2 = (1 + \sqrt{6})(1 — \sqrt{6}) = 1^2 — (\sqrt{6})^2 = 1 — 6 = -5 \) — верно.
б) \( x^2 + 4x + 1 = 0 \)
Находим дискриминант для уравнения, где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 1 \). Вычисляем: \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12 \). Преобразуем подкоренное выражение: \( 12 = 4 \cdot 3 \), поэтому \( \sqrt{D} = 2\sqrt{3} \).
Применяя формулу корней, получаем: \( x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3} \). Следовательно, \( x_1 = -2 + \sqrt{3} \) и \( x_2 = -2 — \sqrt{3} \).
Проверяем решение по теореме Виета. Сумма корней: \( x_1 + x_2 = (-2 + \sqrt{3}) + (-2 — \sqrt{3}) = -4 = -\frac{4}{1} \) — верно. Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = (-2 + \sqrt{3})(-2 — \sqrt{3}) = (-2)^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1 = \frac{1}{1} \) — верно.
в) \( 3y^2 — 4y — 2 = 0 \)
Для этого уравнения имеем \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = -2 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40 \). Упрощаем корень: \( 40 = 4 \cdot 10 \), поэтому \( \sqrt{D} = 2\sqrt{10} \).
По формуле корней получаем: \( y_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} \). Упростим дробь, вынеся общий множитель: \( y_{1,2} = \frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{3} \). Таким образом, \( y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3} \) и \( y_2 = \frac{2 — \sqrt{10}}{3} \).
Проверим по теореме Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = \frac{4}{3} \): \( y_1 + y_2 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3} + \frac{2 — \sqrt{10}}{3} = \frac{4}{3} \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = -\frac{2}{3} \): \( y_1 \cdot y_2 = \frac{(2 + \sqrt{10})(2 — \sqrt{10})}{9} = \frac{4 — 10}{9} = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3} \) — верно.
г) \( 2y^2 + 11y + 10 = 0 \)
Определяем коэффициенты: \( a = 2 \), \( b = 11 \), \( c = 10 \). Вычисляем дискриминант: \( D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 — 80 = 41 \). Так как \( 41 \) — простое число, корень из дискриминанта остается в виде \( \sqrt{41} \).
Применяем формулу корней: \( y_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4} \). Получаем два корня: \( y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4} \) и \( y_2 = \frac{-11 — \sqrt{41}}{4} \).
Проверяем корректность по теореме Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = -\frac{11}{2} = -5,5 \): \( y_1 + y_2 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4} + \frac{-11 — \sqrt{41}}{4} = \frac{-22}{4} = -5,5 \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = \frac{10}{2} = 5 \): \( y_1 \cdot y_2 = \frac{(-11 + \sqrt{41})(-11 — \sqrt{41})}{16} = \frac{121 — 41}{16} = \frac{80}{16} = 5 \) — верно.
д) \( 4x^2 — 9x — 2 = 0 \)
Имеем коэффициенты \( a = 4 \), \( b = -9 \), \( c = -2 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113 \). Число \( 113 \) не раскладывается на полные квадраты, поэтому оставляем корень в виде \( \sqrt{113} \).
По формуле корней получаем: \( x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8} \). Таким образом, \( x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8} \) и \( x_2 = \frac{9 — \sqrt{113}}{8} \).
Проверяем решение по теореме Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = \frac{9}{4} \): \( x_1 + x_2 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8} + \frac{9 — \sqrt{113}}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \): \( x_1 \cdot x_2 = \frac{(9 + \sqrt{113})(9 — \sqrt{113})}{64} = \frac{81 — 113}{64} = \frac{-32}{64} = -\frac{1}{2} \) — верно.
е) \( 5y^2 — 7y + 1 = 0 \)
Определяем коэффициенты: \( a = 5 \), \( b = -7 \), \( c = 1 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 — 20 = 29 \). Число \( 29 \) — простое число, поэтому \( \sqrt{D} = \sqrt{29} \) не упрощается.
Применяя формулу корней, получаем: \( y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10} \). Следовательно, \( y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10} \) и \( y_2 = \frac{7 — \sqrt{29}}{10} \).
Проверяем корректность по теореме Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = \frac{7}{5} = 1,4 \): \( y_1 + y_2 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10} + \frac{7 — \sqrt{29}}{10} = \frac{14}{10} = 1,4 \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = \frac{1}{5} \): \( y_1 \cdot y_2 = \frac{(7 + \sqrt{29})(7 — \sqrt{29})}{100} = \frac{49 — 29}{100} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} \) — верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!