Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 75 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Представьте в виде дроби:
a) \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\);
б) \(\frac{c}{4} — \frac{d}{12}\);
в) \(\frac{a}{b} — \frac{b^2}{a}\);
г) \(\frac{3}{2x} — \frac{2}{3x}\);
д) \(\frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y}\);
е) \(\frac{17y}{24c} — \frac{25y}{36c}\);
ж) \(\frac{1}{5a} — \frac{8}{25a}\);
з) \(\frac{3b}{4c} + \frac{c}{2b}\).
а) \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{3x + 2y}{6}\)
приводим к общему знаменателю 6:
\(\frac{3x}{6} + \frac{2y}{6} = \frac{3x + 2y}{6}\) — верно.
б) \(\frac{c}{4} — \frac{d}{12} = \frac{3c — d}{12}\)
приводим к общему знаменателю 12:
\(\frac{3c}{12} — \frac{d}{12} = \frac{3c — d}{12}\) — верно.
в) \(\frac{a}{b} — \frac{b^2}{a} = \frac{a^2 — b^3}{ab}\)
приводим к общему знаменателю \(ab\):
\(\frac{a^2}{ab} — \frac{b^3}{ab} = \frac{a^2 — b^3}{ab}\) — верно.
г) \(\frac{3}{2x} — \frac{2}{3x} = \frac{9 — 4}{6x} = \frac{5}{6x}\)
приводим к общему знаменателю \(6x\):
\(\frac{3 \cdot 3}{6x} — \frac{2 \cdot 2}{6x} = \frac{9 — 4}{6x}\) — верно.
д) \(\frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} = \frac{5x + 2x}{8y} = \frac{7x}{8y}\)
приводим к общему знаменателю \(8y\):
\(\frac{5x}{8y} + \frac{2x}{8y} = \frac{7x}{8y}\) — верно.
е) \(\frac{17y}{24c} — \frac{25y}{36c} = \frac{17y \cdot 3 — 25y \cdot 2}{72c} = \frac{51y — 50y}{72c} = \frac{y}{72c}\)
приводим к общему знаменателю \(72c\):
\(\frac{51y — 50y}{72c} = \frac{y}{72c}\) — верно.
ж) \(\frac{8}{5a} — \frac{8}{25a} = \frac{5 — 8}{25a} = -\frac{3}{25a}\)
приводим к общему знаменателю \(25a\):
\(\frac{40}{25a} — \frac{8}{25a} = \frac{32}{25a}\) — но по условию:
\(\frac{8}{5a} = \frac{40}{25a}\), тогда \(\frac{40}{25a} — \frac{8}{25a} = \frac{32}{25a}\) — исправлено: в условии написано \(5 — 8\), значит:
\(\frac{8}{5a} — \frac{8}{25a} = \frac{40}{25a} — \frac{8}{25a} = \frac{32}{25a}\), но в условии результат \(-\frac{3}{25a}\), значит ошибка в условии или в записи. По изображению:
\(\frac{5 — 8}{25a} = -\frac{3}{25a}\) — верно.
з) \(\frac{3b}{4c} — \frac{c}{2b} = \frac{3b \cdot 2b — 4c \cdot c}{8bc} = \frac{6b^2 — 4c^2}{8bc} = \frac{2(3b^2 — 2c^2)}{8bc} = \frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}\)
приводим к общему знаменателю \(8bc\):
\(\frac{6b^2 — 4c^2}{8bc} = \frac{2(3b^2 — 2c^2)}{8bc}\), но в ответе знак «+» вместо «-» в последнем выражении, значит:
\(\frac{3b}{4c} — \frac{c}{2b} = \frac{6b^2 — 4c^2}{8bc} = \frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}\) — согласно изображению.
а) Начинаем с выражения \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3}\). Чтобы сложить дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6. Приводим каждую дробь к знаменателю 6: \(\frac{x}{2} = \frac{3x}{6}\), \(\frac{y}{3} = \frac{2y}{6}\). Теперь складываем числители: \(3x + 2y\), знаменатель остается 6. Получаем \(\frac{3x + 2y}{6}\), что совпадает с правой частью уравнения, значит равенство верно.
Таким образом, основная идея — привести дроби к общему знаменателю и сложить числители. Это стандартный приём при работе с дробями, который позволяет объединить несколько дробных выражений в одно.
б) Рассмотрим выражение \(\frac{c}{4} — \frac{d}{12}\). Чтобы вычесть дроби, также нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 — это 12. Приводим первую дробь: \(\frac{c}{4} = \frac{3c}{12}\), вторая дробь уже с нужным знаменателем. Теперь вычитаем числители: \(3c — d\), знаменатель 12. Получаем \(\frac{3c — d}{12}\), что соответствует правой части уравнения.
Этот приём — приведение дробей к общему знаменателю — ключевой в работе с дробными выражениями, позволяющий выполнять операции сложения и вычитания.
в) Для выражения \(\frac{a}{b} — \frac{b^2}{a}\) необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — произведение \(ab\). Приводим первую дробь: \(\frac{a}{b} = \frac{a^2}{ab}\), вторую — \(\frac{b^2}{a} = \frac{b^3}{ab}\). Теперь вычитаем числители: \(a^2 — b^3\), знаменатель остаётся \(ab\). Итог: \(\frac{a^2 — b^3}{ab}\).
Здесь важно помнить, что при приведении дробей к общему знаменателю перемножаются и числители, и знаменатели, чтобы сохранить равенство.
г) Рассмотрим \(\frac{3}{2x} — \frac{2}{3x}\). Общий знаменатель — \(6x\). Приводим дроби: \(\frac{3}{2x} = \frac{9}{6x}\), \(\frac{2}{3x} = \frac{4}{6x}\). Теперь вычитаем числители: \(9 — 4 = 5\), знаменатель \(6x\). Итог: \(\frac{5}{6x}\).
Здесь обращаем внимание, что \(x\) в знаменателях одинаковое, поэтому в общем знаменателе оно сохраняется без изменений.
д) Для \(\frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y}\) общий знаменатель — \(8y\). Первая дробь уже с этим знаменателем. Приводим вторую: \(\frac{x}{4y} = \frac{2x}{8y}\). Складываем числители: \(5x + 2x = 7x\). Итог: \(\frac{7x}{8y}\).
Здесь важно заметить, что переменные в числителе и знаменателе не изменяются при приведении дробей, только числители умножаются на соответствующие множители.
е) Рассмотрим \(\frac{17y}{24c} — \frac{25y}{36c}\). Общий знаменатель — \(72c\). Приводим первую дробь: \(\frac{17y}{24c} = \frac{51y}{72c}\), вторую: \(\frac{25y}{36c} = \frac{50y}{72c}\). Вычитаем числители: \(51y — 50y = y\). Итог: \(\frac{y}{72c}\).
Здесь важно правильно умножить числители и знаменатели для приведения к общему знаменателю, учитывая коэффициенты и переменные.
ж) Рассмотрим \(\frac{8}{5a} — \frac{8}{25a}\). Общий знаменатель — \(25a\). Приводим первую дробь: \(\frac{8}{5a} = \frac{40}{25a}\). Вторая дробь уже с нужным знаменателем. Вычитаем числители: \(40 — 8 = 32\). Итог: \(\frac{32}{25a}\). Однако в условии указано \(\frac{5 — 8}{25a} = -\frac{3}{25a}\), что соответствует другому примеру. Если же брать именно исходное выражение, ответ будет \(\frac{32}{25a}\).
Важно внимательно сверять условия и вычисления, чтобы избежать ошибок.
з) Для \(\frac{3b}{4c} — \frac{c}{2b}\) общий знаменатель — \(8bc\). Приводим дроби: \(\frac{3b}{4c} = \frac{6b^2}{8bc}\), \(\frac{c}{2b} = \frac{4c^2}{8bc}\). Вычитаем числители: \(6b^2 — 4c^2\). Факторизуем: \(2(3b^2 — 2c^2)\). Итог: \(\frac{2(3b^2 — 2c^2)}{8bc} = \frac{3b^2 — 2c^2}{4bc}\). В условии же указан результат с плюсом: \(\frac{3b^2 + 2c^2}{4bc}\), что может быть опечаткой или особенностью примера.
Здесь важно аккуратно работать с умножением и вычитанием степеней, а также с факторизацией числителя.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!