ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 750 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите приближённые значения корней уравнения в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:

а) \( x^2 — 2x — 2 = 0 \)

б) \( x^2 + 5x + 3 = 0 \)

в) \( 3x^2 — 7x + 3 = 0 \)

г) \( 5x^2 + 31x + 20 = 0 \)

а) \( x^2 — 2x — 2 = 0 \)

\( D = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12 = \sqrt{12} \approx 3,46 \)

\( x_1 = \frac{2 — 3,46}{2} = \frac{-1,46}{2} = -0,73, \quad x_2 = \frac{2 + 3,46}{2} = \frac{5,46}{2} = 2,73 \)

Ответ: \( x = -0,73; \quad x = 2,73 \)

б) \( x^2 + 5x + 3 = 0 \)

\( D = 25 — 4 \cdot 3 = 25 — 12 = 13 = \sqrt{13} \approx 3,61 \)

\( x_1 = \frac{-5 — 3,61}{2} = \frac{-8,61}{2} = -4,31, \quad x_2 = \frac{-5 + 3,61}{2} = \frac{-1,39}{2} = -0,70 \)

Ответ: \( x = -4,31; \quad x = -0,70 \)

в) \( 3x^2 — 7x + 3 = 0 \)

\( D = 49 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 — 36 = 13 = \sqrt{13} \approx 3,61 \)

\( x_1 = \frac{7 — 3,61}{6} = \frac{3,39}{6} = 0,57, \quad x_2 = \frac{7 + 3,61}{6} = \frac{10,61}{6} = 1,77 \)

Ответ: \( x = 0,57; \quad x = 1,77 \)

г) \( 5x^2 + 31x + 20 = 0 \)

\( D = 961 — 4 \cdot 5 \cdot 20 = 961 — 400 = 561 = \sqrt{561} \approx 23,69 \)

\( x_1 = \frac{-31 — 23,69}{10} = \frac{-54,69}{10} = -5,47, \quad x_2 = \frac{-31 + 23,69}{10} = \frac{-7,31}{10} = -0,73 \)

Ответ: \( x = -5,47; \quad x = -0,73 \)

а) \( x^2 — 2x — 2 = 0 \)

Для решения квадратного уравнения применяем формулу дискриминанта. Сначала определяем коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -2 \). Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \). Подставляем значения: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня. Извлекаем корень из дискриминанта: \( \sqrt{D} = \sqrt{12} \approx 3,46 \).

Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), подставляем найденные значения. Первый корень вычисляется как \( x_1 = \frac{-(-2) — 3,46}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 3,46}{2} = \frac{-1,46}{2} = -0,73 \). Второй корень находится аналогично: \( x_2 = \frac{-(-2) + 3,46}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 3,46}{2} = \frac{5,46}{2} = 2,73 \). Оба корня получены путём подстановки в формулу и выполнения арифметических операций деления.

Проверка корректности решения подтверждает, что при подстановке найденных значений в исходное уравнение получается верное равенство. Таким образом, множество решений уравнения состоит из двух элементов: \( x = -0,73 \) и \( x = 2,73 \).

б) \( x^2 + 5x + 3 = 0 \)

Определяем коэффициенты квадратного уравнения: \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = 3 \). Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 — 12 = 13 \). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных действительных корня. Находим приближённое значение корня из дискриминанта: \( \sqrt{D} = \sqrt{13} \approx 3,61 \).

Применяем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень вычисляется следующим образом: \( x_1 = \frac{-5 — 3,61}{2 \cdot 1} = \frac{-8,61}{2} = -4,31 \). Второй корень находится с использованием знака плюс в формуле: \( x_2 = \frac{-5 + 3,61}{2 \cdot 1} = \frac{-1,39}{2} = -0,70 \). Оба значения получены путём точного выполнения операций вычитания, сложения и деления.

Оба найденные корня являются отрицательными числами, что соответствует структуре уравнения с положительным коэффициентом при \( x \) и положительным свободным членом. Решение уравнения даёт множество из двух элементов: \( x = -4,31 \) и \( x = -0,70 \).

в) \( 3x^2 — 7x + 3 = 0 \)

Выписываем коэффициенты уравнения: \( a = 3 \), \( b = -7 \), \( c = 3 \). Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 — 36 = 13 \). Дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня. Вычисляем корень из дискриминанта: \( \sqrt{D} = \sqrt{13} \approx 3,61 \).

Применяем формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) с учётом того, что коэффициент \( a = 3 \). Первый корень вычисляется как \( x_1 = \frac{-(-7) — 3,61}{2 \cdot 3} = \frac{7 — 3,61}{6} = \frac{3,39}{6} = 0,57 \). Второй корень находится следующим образом: \( x_2 = \frac{-(-7) + 3,61}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 3,61}{6} = \frac{10,61}{6} = 1,77 \). Оба корня являются положительными числами, что обусловлено структурой коэффициентов уравнения.

Интересной особенностью этого уравнения является то, что коэффициенты при \( x^2 \) и свободный член равны между собой (оба равны 3), что создаёт определённую симметрию в уравнении. Оба найденные корня лежат в интервале между нулём и двумя, что логично для данного уравнения. Множество решений состоит из двух элементов: \( x = 0,57 \) и \( x = 1,77 \).

г) \( 5x^2 + 31x + 20 = 0 \)

Определяем коэффициенты: \( a = 5 \), \( b = 31 \), \( c = 20 \). Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac = 31^2 — 4 \cdot 5 \cdot 20 = 961 — 400 = 561 \). Дискриминант положительный, что гарантирует наличие двух различных действительных корней. Находим приближённое значение корня из дискриминанта: \( \sqrt{D} = \sqrt{561} \approx 23,69 \).

Применяем формулу корней \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) с учётом коэффициента \( a = 5 \). Первый корень вычисляется следующим образом: \( x_1 = \frac{-31 — 23,69}{2 \cdot 5} = \frac{-54,69}{10} = -5,47 \). Второй корень находится с использованием знака плюс: \( x_2 = \frac{-31 + 23,69}{2 \cdot 5} = \frac{-7,31}{10} = -0,73 \). Оба корня являются отрицательными, что соответствует положительному коэффициенту при \( x \) и положительному свободному члену в уравнении.

Данное уравнение имеет больший коэффициент при \( x \), чем при \( x^2 \), что приводит к тому, что оба корня находятся в отрицательной области числовой оси. Первый корень значительно меньше второго по абсолютной величине. Множество решений уравнения содержит два элемента: \( x = -5,47 \) и \( x = -0,73 \).