ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 751 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выясните, при каких значениях переменной:

а) трёхчлен \( a^2 + 7a + 6 \) и двучлен \( a + 1 \) принимают равные значения;

б) трёхчлены \( 3x^2 — x + 1 \) и \( 2x^2 + 5x — 4 \) принимают равные значения.

Найдите эти значения.

а) \( a^2 + 7a + 6 = a + 1 \)

\( a^2 + 7a + 6 — a — 1 = 0 \)

\( a^2 + 6a + 5 = 0 \)

\( D = 36 — 4 \cdot 5 = 16 = 4^2 \)

\( a_1 = \frac{-6 — 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5, \quad a_2 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Ответ: \( a = -5, a = -1 \)

б) \( 3x^2 — x + 1 = 2x^2 + 5x — 4 \)

\( 3x^2 — x + 1 — 2x^2 — 5x + 4 = 0 \)

\( x^2 — 6x + 5 = 0 \)

\( D = 36 — 4 \cdot 5 = 16 = 4^2 \)

\( x_1 = \frac{6 — 4}{2} = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

Ответ: \( x = 1, x = 5 \)

а) \( a^2 + 7a + 6 = a + 1 \)

Перенесём все члены в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения. Вычитаем из обеих частей выражение \( a + 1 \), получаем \( a^2 + 7a + 6 — a — 1 = 0 \). Приводим подобные слагаемые: \( 7a — a = 6a \) и \( 6 — 1 = 5 \), в результате имеем \( a^2 + 6a + 5 = 0 \).

Для решения полученного квадратного уравнения применяем формулу дискриминанта. Коэффициенты уравнения: \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = 5 \). Вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \): \( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 = 4^2 \). Поскольку дискриминант положительный и является полным квадратом, уравнение имеет два различных действительных корня.

Используя формулу корней квадратного уравнения \( a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \), находим оба решения. Первый корень: \( a_1 = \frac{-6 — 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \). Второй корень: \( a_2 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \). Таким образом, множество решений состоит из двух значений: \( a = -5 \) и \( a = -1 \).

б) \( 3x^2 — x + 1 = 2x^2 + 5x — 4 \)

Приведём уравнение к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть. Вычитаем из обеих частей выражение \( 2x^2 + 5x — 4 \), получаем \( 3x^2 — x + 1 — 2x^2 — 5x + 4 = 0 \). Приводим подобные слагаемые: \( 3x^2 — 2x^2 = x^2 \), \( -x — 5x = -6x \), \( 1 + 4 = 5 \), в результате получаем квадратное уравнение \( x^2 — 6x + 5 = 0 \).

Вычисляем дискриминант для полученного уравнения, где коэффициенты равны \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 5 \). По формуле \( D = b^2 — 4ac \) имеем \( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16 = 4^2 \). Дискриминант положительный, что гарантирует наличие двух различных действительных корней уравнения.

Применяем формулу для нахождения корней \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Первый корень вычисляется как \( x_1 = \frac{-(-6) — 4}{2} = \frac{6 — 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-(-6) + 4}{2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). Решениями исходного уравнения являются \( x = 1 \) и \( x = 5 \).