ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 752 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \( a \) один из корней уравнения \( ax^2 — 3x — 5 = 0 \) равен 1? Найдите, чему равен при этом значении \( a \) второй корень.

Дано уравнение \( ax^2 — 3x — 5 = 0 \). Разделим на \( a \):

\( x^2 — \frac{3}{a}x — \frac{5}{a} = 0 \)

По теореме Виета для корней \( x_1 \) и \( x_2 \):

\( \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{3}{a} \\ x_1 x_2 = -\frac{5}{a} \end{cases} \)

Из условия задачи известно, что \( 1 + x_2 = \frac{3}{a} \) и \( x_2 = -\frac{5}{a} \).

Подставим второе уравнение в первое:

\( 1 + \left(-\frac{5}{a}\right) = \frac{3}{a} \)

\( 1 — \frac{5}{a} = \frac{3}{a} \)

\( 1 = \frac{3}{a} + \frac{5}{a} \)

\( 1 = \frac{8}{a} \)

\( a = 8 \)

Проверка: при \( a = 8 \) имеем \( 8x^2 — 3x — 5 = 0 \), откуда \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{5}{8} \).

Ответ: при \( a = 8 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( ax^2 — 3x — 5 = 0 \), где необходимо найти значение параметра \( a \). Для решения этой задачи применим теорему Виета, которая устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Сначала преобразуем исходное уравнение, разделив все члены на коэффициент \( a \), чтобы получить приведённое квадратное уравнение вида \( x^2 + px + q = 0 \). После деления на \( a \) получаем: \( x^2 — \frac{3}{a}x — \frac{5}{a} = 0 \). Это преобразование позволяет нам удобно применить теорему Виета для нахождения суммы и произведения корней.

По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения \( x^2 — \frac{3}{a}x — \frac{5}{a} = 0 \) сумма корней \( x_1 \) и \( x_2 \) равна коэффициенту при \( x \) с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким образом, получаем систему соотношений: \( x_1 + x_2 = \frac{3}{a} \) и \( x_1 \cdot x_2 = -\frac{5}{a} \). Эти два уравнения являются основой для дальнейшего решения задачи. Из условия задачи, которое видно на изображении, известно дополнительное соотношение между корнями: один из корней равен единице, то есть \( x_1 = 1 \). Это означает, что число 1 является корнем исходного уравнения.

Подставим условие \( x_1 = 1 \) в систему уравнений Виета. Из первого соотношения получаем: \( 1 + x_2 = \frac{3}{a} \), откуда выражаем второй корень через параметр: \( x_2 = \frac{3}{a} — 1 \). Из второго соотношения имеем: \( 1 \cdot x_2 = -\frac{5}{a} \), что означает \( x_2 = -\frac{5}{a} \). Теперь у нас есть два выражения для одного и того же корня \( x_2 \), которые должны быть равны между собой. Приравняем эти выражения: \( \frac{3}{a} — 1 = -\frac{5}{a} \).

Решим полученное уравнение относительно параметра \( a \). Перенесём все члены с \( a \) в левую часть: \( \frac{3}{a} + \frac{5}{a} = 1 \). Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{3 + 5}{a} = 1 \), что даёт \( \frac{8}{a} = 1 \). Умножим обе части уравнения на \( a \): \( 8 = a \). Таким образом, параметр \( a = 8 \).

Проверим полученный результат, подставив \( a = 8 \) в исходное уравнение: \( 8x^2 — 3x — 5 = 0 \). Разделим на 8: \( x^2 — \frac{3}{8}x — \frac{5}{8} = 0 \). Проверим, что \( x_1 = 1 \) является корнем: \( 1 — \frac{3}{8} — \frac{5}{8} = 1 — \frac{8}{8} = 1 — 1 = 0 \). Условие выполнено. Найдём второй корень, используя произведение: \( x_2 = -\frac{5}{8} \). Проверим сумму: \( 1 + \left(-\frac{5}{8}\right) = \frac{8}{8} — \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \), что соответствует коэффициенту \( \frac{3}{a} = \frac{3}{8} \). Все условия задачи полностью удовлетворены, что подтверждает правильность найденного значения параметра.