Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 752 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
При каком значении \( a \) один из корней уравнения \( ax^2 — 3x — 5 = 0 \) равен 1? Найдите, чему равен при этом значении \( a \) второй корень.
Дано уравнение \( ax^2 — 3x — 5 = 0 \). Разделим на \( a \):
\( x^2 — \frac{3}{a}x — \frac{5}{a} = 0 \)
По теореме Виета для корней \( x_1 \) и \( x_2 \):
\( \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{3}{a} \\ x_1 x_2 = -\frac{5}{a} \end{cases} \)
Из условия задачи известно, что \( 1 + x_2 = \frac{3}{a} \) и \( x_2 = -\frac{5}{a} \).
Подставим второе уравнение в первое:
\( 1 + \left(-\frac{5}{a}\right) = \frac{3}{a} \)
\( 1 — \frac{5}{a} = \frac{3}{a} \)
\( 1 = \frac{3}{a} + \frac{5}{a} \)
\( 1 = \frac{8}{a} \)
\( a = 8 \)
Проверка: при \( a = 8 \) имеем \( 8x^2 — 3x — 5 = 0 \), откуда \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{5}{8} \).
Ответ: при \( a = 8 \).
Рассмотрим квадратное уравнение \( ax^2 — 3x — 5 = 0 \), где необходимо найти значение параметра \( a \). Для решения этой задачи применим теорему Виета, которая устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Сначала преобразуем исходное уравнение, разделив все члены на коэффициент \( a \), чтобы получить приведённое квадратное уравнение вида \( x^2 + px + q = 0 \). После деления на \( a \) получаем: \( x^2 — \frac{3}{a}x — \frac{5}{a} = 0 \). Это преобразование позволяет нам удобно применить теорему Виета для нахождения суммы и произведения корней.
По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения \( x^2 — \frac{3}{a}x — \frac{5}{a} = 0 \) сумма корней \( x_1 \) и \( x_2 \) равна коэффициенту при \( x \) с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким образом, получаем систему соотношений: \( x_1 + x_2 = \frac{3}{a} \) и \( x_1 \cdot x_2 = -\frac{5}{a} \). Эти два уравнения являются основой для дальнейшего решения задачи. Из условия задачи, которое видно на изображении, известно дополнительное соотношение между корнями: один из корней равен единице, то есть \( x_1 = 1 \). Это означает, что число 1 является корнем исходного уравнения.
Подставим условие \( x_1 = 1 \) в систему уравнений Виета. Из первого соотношения получаем: \( 1 + x_2 = \frac{3}{a} \), откуда выражаем второй корень через параметр: \( x_2 = \frac{3}{a} — 1 \). Из второго соотношения имеем: \( 1 \cdot x_2 = -\frac{5}{a} \), что означает \( x_2 = -\frac{5}{a} \). Теперь у нас есть два выражения для одного и того же корня \( x_2 \), которые должны быть равны между собой. Приравняем эти выражения: \( \frac{3}{a} — 1 = -\frac{5}{a} \).
Решим полученное уравнение относительно параметра \( a \). Перенесём все члены с \( a \) в левую часть: \( \frac{3}{a} + \frac{5}{a} = 1 \). Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{3 + 5}{a} = 1 \), что даёт \( \frac{8}{a} = 1 \). Умножим обе части уравнения на \( a \): \( 8 = a \). Таким образом, параметр \( a = 8 \).
Проверим полученный результат, подставив \( a = 8 \) в исходное уравнение: \( 8x^2 — 3x — 5 = 0 \). Разделим на 8: \( x^2 — \frac{3}{8}x — \frac{5}{8} = 0 \). Проверим, что \( x_1 = 1 \) является корнем: \( 1 — \frac{3}{8} — \frac{5}{8} = 1 — \frac{8}{8} = 1 — 1 = 0 \). Условие выполнено. Найдём второй корень, используя произведение: \( x_2 = -\frac{5}{8} \). Проверим сумму: \( 1 + \left(-\frac{5}{8}\right) = \frac{8}{8} — \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \), что соответствует коэффициенту \( \frac{3}{a} = \frac{3}{8} \). Все условия задачи полностью удовлетворены, что подтверждает правильность найденного значения параметра.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!