Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 753 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних.
Пусть данные последовательные числа: \( (x — 2), (x — 1), x, (x + 1), (x + 2) \).
Составим уравнение:
\( (x — 2)^2 + (x — 1)^2 + x^2 = (x + 1)^2 + (x + 2)^2 \)
\( x^2 — 4x + 4 + x^2 — 2x + 1 + x^2 = x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 \)
\( 3x^2 — 6x + 5 — 2x^2 — 6x — 5 = 0 \)
\( x^2 — 12x = 0 \)
\( x(x — 12) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x = 12 \)
При \( x = 0 \):
\( x — 2 = 0 — 2 = -2 \) — первое число;
\( x — 1 = 0 — 1 = -1 \) — второе число;
\( 0 \) — третье число;
\( x + 1 = 0 + 1 = 1 \) — четвёртое число;
\( x + 2 = 0 + 2 = 2 \) — пятое число.
При \( x = 12 \):
\( x — 2 = 12 — 2 = 10 \) — первое число;
\( x — 1 = 12 — 1 = 11 \) — второе число;
\( 12 \) — третье число;
\( x + 1 = 12 + 1 = 13 \) — четвёртое число;
\( x + 2 = 12 + 2 = 14 \) — пятое число.
Ответ: \( -2; -1; 0; 1; 2 \) или \( 10; 11; 12; 13; 14 \).
Пусть данные последовательные числа обозначены как \( (x — 2), (x — 1), x, (x + 1), (x + 2) \). Эти пять чисел образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной единице. Задача требует найти такие пять последовательных чисел, при которых сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов последних двух чисел. Для решения этой задачи составим уравнение, в котором левая часть представляет сумму квадратов первых трёх членов последовательности, а правая часть — сумму квадратов последних двух членов.
Составим уравнение на основе условия задачи:
\( (x — 2)^2 + (x — 1)^2 + x^2 = (x + 1)^2 + (x + 2)^2 \)
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого получаем \( (x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4 \). Для второго слагаемого имеем \( (x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1 \). Третье слагаемое остаётся как \( x^2 \). Таким образом, левая часть принимает вид:
\( x^2 — 4x + 4 + x^2 — 2x + 1 + x^2 = 3x^2 — 6x + 5 \)
Раскроем скобки в правой части уравнения. Для первого слагаемого получаем \( (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \). Для второго слагаемого имеем \( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \). Правая часть принимает вид:
\( x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 6x + 5 \)
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
\( 3x^2 — 6x + 5 = 2x^2 + 6x + 5 \)
Перенесём все члены в левую часть уравнения. Вычтем из левой части \( 2x^2 + 6x + 5 \):
\( 3x^2 — 6x + 5 — 2x^2 — 6x — 5 = 0 \)
Приведём подобные члены. Члены с \( x^2 \) дают \( 3x^2 — 2x^2 = x^2 \). Члены с \( x \) дают \( -6x — 6x = -12x \). Свободные члены дают \( 5 — 5 = 0 \). Получаем упрощённое уравнение:
\( x^2 — 12x = 0 \)
Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:
\( x(x — 12) = 0 \)
Из этого произведения следует, что либо \( x = 0 \), либо \( x — 12 = 0 \), откуда \( x = 12 \). Таким образом, мы получили два решения, каждое из которых даёт нам набор из пяти последовательных чисел.
При \( x = 0 \) найдём все пять последовательных чисел. Первое число равно \( x — 2 = 0 — 2 = -2 \). Второе число равно \( x — 1 = 0 — 1 = -1 \). Третье число равно \( x = 0 \). Четвёртое число равно \( x + 1 = 0 + 1 = 1 \). Пятое число равно \( x + 2 = 0 + 2 = 2 \). Таким образом, первый набор последовательных чисел — это \( -2, -1, 0, 1, 2 \). Проверим это решение: сумма квадратов первых трёх чисел равна \( (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 4 + 1 + 0 = 5 \). Сумма квадратов последних двух чисел равна \( 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \). Условие задачи выполнено.
При \( x = 12 \) найдём все пять последовательных чисел. Первое число равно \( x — 2 = 12 — 2 = 10 \). Второе число равно \( x — 1 = 12 — 1 = 11 \). Третье число равно \( x = 12 \). Четвёртое число равно \( x + 1 = 12 + 1 = 13 \). Пятое число равно \( x + 2 = 12 + 2 = 14 \). Таким образом, второй набор последовательных чисел — это \( 10, 11, 12, 13, 14 \). Проверим это решение: сумма квадратов первых трёх чисел равна \( 10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365 \). Сумма квадратов последних двух чисел равна \( 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365 \). Условие задачи выполнено.
Таким образом, задача имеет два решения. Первое решение даёт пять последовательных чисел: \( -2, -1, 0, 1, 2 \). Второе решение даёт пять последовательных чисел: \( 10, 11, 12, 13, 14 \). Оба набора чисел удовлетворяют условию, что сумма квадратов первых трёх чисел равна сумме квадратов последних двух чисел.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!