ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 754 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

Пусть даны следующие числа: \( 2n \), \( 2n + 2 \), \( 2n + 4 \). Составим уравнение:

\( (2n)^2 + (2n + 2)^2 = (2n + 4)^2 \)

\( 4n^2 + 4n^2 + 8n + 4 — 4n^2 — 16n — 16 = 0 \)

\( 4n^2 — 8n — 12 = 0 \) \( | : 4 \)

\( n^2 — 2n — 3 = 0 \)

\( D = 4 + 4 \cdot 3 = 16 = 4^2 \)

\( n_1 = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \quad n_2 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

при \( n = -1 \):

\( 2n = 2 \cdot (-1) = -2 \) — первое число;

\( 2n + 2 = -2 + 2 = 0 \) — второе число;

\( 2n + 4 = -2 + 4 = 2 \) — третье число.

при \( n = 3 \):

\( 2n = 2 \cdot 3 = 6 \) — первое число;

\( 2n + 2 = 6 + 2 = 8 \) — второе число;

\( 2n + 4 = 6 + 4 = 10 \) — третье число.

Ответ: \( -2; 0; 2 \) или \( 6; 8; 10 \).

Для решения этой задачи необходимо найти три последовательных чётных числа, которые удовлетворяют условию Пифагора. Обозначим эти числа как \( 2n \), \( 2n + 2 \) и \( 2n + 4 \), где \( n \) — целое число. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов двух меньших чисел должна равняться квадрату наибольшего числа. Это условие записывается в виде уравнения \( (2n)^2 + (2n + 2)^2 = (2n + 4)^2 \), которое мы должны решить для нахождения всех возможных значений \( n \).

Раскроем скобки в левой части уравнения. Первый квадрат даёт \( (2n)^2 = 4n^2 \). Второй квадрат вычисляется как \( (2n + 2)^2 = 4n^2 + 8n + 4 \), используя формулу квадрата суммы. В правой части получаем \( (2n + 4)^2 = 4n^2 + 16n + 16 \). Подставляя эти выражения в исходное уравнение, имеем \( 4n^2 + 4n^2 + 8n + 4 = 4n^2 + 16n + 16 \). Упрощая левую часть: \( 8n^2 + 8n + 4 = 4n^2 + 16n + 16 \).

Перенесём все члены в левую часть уравнения, изменив их знаки: \( 8n^2 + 8n + 4 — 4n^2 — 16n — 16 = 0 \). Приводим подобные члены: \( 4n^2 — 8n — 12 = 0 \). Разделим всё уравнение на 4 для упрощения: \( n^2 — 2n — 3 = 0 \). Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант или разложение на множители.

Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \). Получаем \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2 \). Так как дискриминант является полным квадратом, уравнение имеет два действительных корня. Применяем формулу корней квадратного уравнения: \( n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2} \). Первый корень: \( n_1 = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \). Второй корень: \( n_2 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Для первого значения \( n = -1 \) находим три последовательных чётных числа. Первое число: \( 2n = 2 \cdot (-1) = -2 \). Второе число: \( 2n + 2 = -2 + 2 = 0 \). Третье число: \( 2n + 4 = -2 + 4 = 2 \). Проверим, удовлетворяют ли эти числа условию Пифагора: \( (-2)^2 + 0^2 = 4 + 0 = 4 \) и \( 2^2 = 4 \). Равенство верно, поэтому \( -2, 0, 2 \) — решение задачи.

Для второго значения \( n = 3 \) вычислим три последовательных чётных числа. Первое число: \( 2n = 2 \cdot 3 = 6 \). Второе число: \( 2n + 2 = 6 + 2 = 8 \). Третье число: \( 2n + 4 = 6 + 4 = 10 \). Проверим условие Пифагора: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) и \( 10^2 = 100 \). Равенство выполняется, следовательно, \( 6, 8, 10 \) — также решение задачи. Это известная пифагорова тройка, которая часто встречается в геометрии.

Таким образом, задача имеет два решения. Первое решение состоит из чисел \( -2, 0, 2 \), которые образуют арифметическую прогрессию с разностью 2 и удовлетворяют условию Пифагора благодаря специальному расположению относительно нуля. Второе решение — числа \( 6, 8, 10 \), которые представляют собой классическую пифагорову тройку, масштабированную версию тройки \( 3, 4, 5 \). Оба набора чисел являются последовательными чётными числами и удовлетворяют исходному условию задачи.