Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 755 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.
Пусть два последовательных числа равны: \( x \) и \( x + 1 \). Составим уравнение:
\( (x + x + 1)^2 = x^2 + (x + 1)^2 + 112 \)
\( (2x + 1)^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1 + 112 \)
\( 4x^2 + 4x + 1 — 2x^2 — 2x — 113 = 0 \)
\( 2x^2 + 2x — 112 = 0 \) \( | : 2 \)
\( x^2 + x — 56 = 0 \)
\( D = 1 + 4 \cdot 56 = 225 = 15^2 \)
\( x_1 = \frac{-1 — 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \) — не подходит,
\( x_2 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
При \( x = 7 \) — первое число:
\( x + 1 = 7 + 1 = 8 \) — второе число.
Ответ: 7 и 8.
Обозначим два последовательных натуральных числа как \( x \) и \( x + 1 \), где \( x \) — первое число, а \( x + 1 \) — второе число. По условию задачи квадрат суммы этих двух чисел на 112 больше суммы их квадратов. Это означает, что если мы возьмём сумму чисел \( x + (x + 1) = 2x + 1 \), возведём её в квадрат и вычтем из этого результата сумму квадратов \( x^2 + (x + 1)^2 \), то получим ровно 112. Таким образом, мы составляем уравнение: \( (x + x + 1)^2 = x^2 + (x + 1)^2 + 112 \).
Раскроем скобки в левой части уравнения. Сумма двух чисел равна \( 2x + 1 \), поэтому \( (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \). В правой части раскроем квадрат двучлена: \( (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \). Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем: \( 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x^2 + 2x + 1 + 112 \). Упростим правую часть: \( 4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 2x + 1 + 112 \), то есть \( 4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 2x + 113 \).
Перенесём все члены в левую часть уравнения: \( 4x^2 + 4x + 1 — 2x^2 — 2x — 113 = 0 \). Приведём подобные члены: \( 2x^2 + 2x — 112 = 0 \). Разделим всё уравнение на 2 для упрощения: \( x^2 + x — 56 = 0 \). Это квадратное уравнение стандартного вида, где коэффициент при \( x^2 \) равен 1, при \( x \) равен 1, а свободный член равен \( -56 \).
Решим квадратное уравнение через дискриминант. Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -56 \). Получаем: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 \). Заметим, что \( 225 = 15^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что означает наличие двух действительных корней. Применим формулу корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2} \).
Вычислим первый корень: \( x_1 = \frac{-1 — 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \). Этот корень отрицательный, а по условию задачи мы ищем натуральные числа, поэтому этот корень не подходит и отбрасывается. Вычислим второй корень: \( x_2 = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7 \). Этот корень положительный и является натуральным числом, поэтому он удовлетворяет условию задачи.
Если первое число равно \( x = 7 \), то второе число равно \( x + 1 = 7 + 1 = 8 \). Проверим полученный результат: сумма чисел равна \( 7 + 8 = 15 \), квадрат суммы равен \( 15^2 = 225 \). Сумма квадратов равна \( 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \). Разность между квадратом суммы и суммой квадратов составляет \( 225 — 113 = 112 \), что полностью соответствует условию задачи. Таким образом, два искомых последовательных числа — это 7 и 8.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!