ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 756 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть \( b \) см — ширина прямоугольника, тогда \( a \) см — длина прямоугольника. Так как \( a \) — длина, то \( a > b \).

Составим систему:
\( \begin{cases} 2(a + b) = 28 \\ a^2 + b^2 = 116 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 116 \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} a = 14 — b \\ (14 — b)^2 + b^2 = 116 \end{cases} \)

\( (14 — b)^2 + b^2 = 116 \)

\( 196 — 28b + b^2 + b^2 — 116 = 0 \)

\( 2b^2 — 28b + 80 = 0 \) \( | : 2 \)

\( b^2 — 14b + 40 = 0 \)

\( D = 196 — 4 \cdot 40 = 196 — 160 = 36 = 6^2 \)

\( b_1 = \frac{14 — 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) (см), \( b_2 = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) — не подходит.

\( a = 14 — b = 14 — 4 = 10 \) (см) — длина прямоугольника.

Ответ: 10 см и 4 см.

Обозначим ширину прямоугольника через \( b \) см, а длину через \( a \) см. По условию задачи известно, что периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма квадратов его сторон (то есть квадрат диагонали по теореме Пифагора) равна 116. Поскольку \( a \) — это длина, а \( b \) — ширина, то справедливо неравенство \( a > b \). Из этих условий составляем систему двух уравнений с двумя неизвестными, которая связывает периметр и диагональ прямоугольника.

Система уравнений имеет вид: \( \begin{cases} 2(a + b) = 28 \\ a^2 + b^2 = 116 \end{cases} \). Первое уравнение получается из формулы периметра прямоугольника \( P = 2(a + b) \), а второе из того, что квадрат диагонали равен сумме квадратов двух смежных сторон. Упростим первое уравнение, разделив обе части на 2: \( a + b = 14 \). Это позволяет выразить одну переменную через другую: \( a = 14 — b \).

Подставим выражение \( a = 14 — b \) во второе уравнение системы: \( (14 — b)^2 + b^2 = 116 \). Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \( (x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 \): \( 196 — 28b + b^2 + b^2 = 116 \). Приведём подобные члены: \( 196 — 28b + 2b^2 = 116 \). Перенесём все члены в левую часть: \( 2b^2 — 28b + 196 — 116 = 0 \), то есть \( 2b^2 — 28b + 80 = 0 \). Разделим всё уравнение на 2 для упрощения: \( b^2 — 14b + 40 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение \( b^2 — 14b + 40 = 0 \) через дискриминант. Вычислим дискриминант по формуле \( D = c^2 — 4ac \), где коэффициенты \( a = 1 \), \( b = -14 \), \( c = 40 \): \( D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 40 = 196 — 160 = 36 = 6^2 \). Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле \( b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): первый корень \( b_1 = \frac{14 — 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см, второй корень \( b_2 = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) см.

Проверим, какой из корней удовлетворяет условию \( a > b \). Если \( b = 4 \) см, то \( a = 14 — 4 = 10 \) см, и действительно \( 10 > 4 \), условие выполнено. Если же \( b = 10 \) см, то \( a = 14 — 10 = 4 \) см, и получаем \( 4 > 10 \), что является ложным утверждением. Следовательно, второй корень не подходит по смыслу задачи, так как длина не может быть меньше ширины. Таким образом, единственное решение: ширина \( b = 4 \) см и длина \( a = 10 \) см.

Проведём проверку найденного решения. Периметр: \( 2(10 + 4) = 2 \cdot 14 = 28 \) см — верно. Сумма квадратов сторон: \( 10^2 + 4^2 = 100 + 16 = 116 \) — верно. Оба условия задачи удовлетворены, что подтверждает корректность решения. Ответ: длина прямоугольника равна 10 см, ширина равна 4 см.