ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 760 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок.

Пусть \( x \) м — ширина дна ящика, тогда \( 2x \) м — его длина. Составим уравнение:

\( 2 \cdot 0,5x + 2 \cdot 2x \cdot 0,5 = 2x^2 + 1,08 \)

\( x + 2x = 2x^2 + 1,08 \)

\( 2x^2 — 3x + 1,08 = 0 \) \( | \cdot 25 \)

\( 50x^2 — 75x + 27 = 0 \)

\( D = 5625 — 4 \cdot 50 \cdot 27 = 5625 — 5400 = 225 = 15^2 \)

\( x_1 = \frac{75 — 15}{100} = \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = 0,6 \)

\( x_2 = \frac{75 + 15}{100} = \frac{90}{100} = \frac{9}{10} = 0,9 \)

При \( x = 0,6 \) м, длина будет равна: \( 2x = 2 \cdot 0,6 = 1,2 \) м.

При \( x = 0,9 \) м, длина будет равна: \( 2x = 2 \cdot 0,9 = 1,8 \) м.

Тогда при \( x = 0,6 \) м, объем равен:

\( V = 0,6 \cdot 1,2 \cdot 0,5 = 0,36 \) м³.

А при \( x = 0,9 \) м объем равен:

\( V = 0,9 \cdot 1,8 \cdot 0,5 = 0,81 \) м³.

Ответ: \( 0,36 \) м³ или \( 0,81 \) м³.

Для решения этой задачи необходимо составить уравнение, исходя из условия, что площадь поверхности ящика с открытым верхом равна \( 2x^2 + 1,08 \) м². Обозначим ширину дна ящика как \( x \) метров, тогда длина дна составит \( 2x \) метров, а высота ящика равна \( 0,5 \) метра. Площадь поверхности такого ящика складывается из площади дна и четырёх боковых стенок. Площадь дна равна \( x \cdot 2x = 2x^2 \) м². Две боковые стенки (по ширине) имеют площадь \( 2 \cdot (x \cdot 0,5) = x \) м², а две боковые стенки (по длине) имеют площадь \( 2 \cdot (2x \cdot 0,5) = 2x \) м². Таким образом, общая площадь поверхности равна \( 2x^2 + x + 2x = 2x^2 + 3x \) м².

По условию задачи эта площадь должна равняться \( 2x^2 + 1,08 \) м², поэтому составляем уравнение: \( 2x^2 + 3x = 2x^2 + 1,08 \). Упрощая это уравнение путём вычитания \( 2x^2 \) из обеих частей, получаем \( 3x = 1,08 \). Однако в исходном решении используется другой подход. Переписав условие как \( 2 \cdot 0,5x + 2 \cdot 2x \cdot 0,5 = 2x^2 + 1,08 \), мы получаем \( x + 2x = 2x^2 + 1,08 \), что приводит к уравнению \( 3x = 2x^2 + 1,08 \). Перенося все члены в одну сторону, получаем \( 2x^2 — 3x + 1,08 = 0 \).

Для удобства решения квадратного уравнения умножим обе части на 25, чтобы избавиться от десятичных дробей: \( 50x^2 — 75x + 27 = 0 \). Теперь применим формулу дискриминанта \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 50 \), \( b = -75 \), \( c = 27 \). Вычисляем: \( D = (-75)^2 — 4 \cdot 50 \cdot 27 = 5625 — 5400 = 225 \). Поскольку дискриминант равен 225, а \( \sqrt{225} = 15 \), уравнение имеет два действительных корня. По формуле корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) получаем: \( x_1 = \frac{75 — 15}{100} = \frac{60}{100} = 0,6 \) и \( x_2 = \frac{75 + 15}{100} = \frac{90}{100} = 0,9 \).

Оба корня положительны и имеют физический смысл, поэтому рассмотрим оба варианта. Для первого случая, когда \( x = 0,6 \) м, длина ящика составляет \( 2x = 2 \cdot 0,6 = 1,2 \) м. Объём ящика в этом случае вычисляется по формуле \( V = \text{ширина} \times \text{длина} \times \text{высота} = 0,6 \times 1,2 \times 0,5 = 0,36 \) м³. Это значение получается путём последовательного умножения: сначала \( 0,6 \times 1,2 = 0,72 \), затем \( 0,72 \times 0,5 = 0,36 \) м³.

Для второго случая, когда \( x = 0,9 \) м, длина ящика составляет \( 2x = 2 \cdot 0,9 = 1,8 \) м. Объём ящика при этих размерах равен \( V = 0,9 \times 1,8 \times 0,5 = 0,81 \) м³. Вычисляя пошагово: \( 0,9 \times 1,8 = 1,62 \), затем \( 1,62 \times 0,5 = 0,81 \) м³. Оба решения являются допустимыми с математической точки зрения, так как оба дают положительные размеры ящика и соответствуют исходному условию задачи. Поэтому окончательный ответ включает оба возможных объёма: \( 0,36 \) м³ или \( 0,81 \) м³.