ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 761 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить открытую коробку объёмом 6080 см³, вырезав по углам картона квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и ширину листа картона.

Пусть \( x \) см — ширина картона, тогда \( 1,5x \) см — длина картона. Составим уравнение:

\( (x — 16)(1,5x — 16) \cdot 8 = 6080 \)

\( 8 \cdot (1,5x^2 — 16x — 24x + 256) = 6080 \) \( | : 8 \)

\( 1,5x^2 — 40x + 256 = 760 \)

\( 1,5x^2 — 40x — 504 = 0 \) \( | \cdot 2 \)

\( 3x^2 — 80x — 1008 = 0 \)

\( D = 6400 + 4 \cdot 3 \cdot 1008 = 6400 + 12096 = 18496 = 136^2 \)

\( x_1 = \frac{80 — 136}{6} = \frac{-56}{6} \) — не подходит,

\( x_2 = \frac{80 + 136}{6} = \frac{216}{6} = 36 \) (см) — ширина картона.

\( 1,5x = 1,5 \cdot 36 = 54 \) (см) — длина картона.

Ответ: 36 см и 54 см.

Пусть \( x \) см обозначает ширину картона. По условию задачи длина картона составляет \( 1,5x \) см, так как она в полтора раза больше ширины. Когда от картона отрезают полосы шириной 16 см со всех сторон, новые размеры становятся \( (x — 16) \) см по ширине и \( (1,5x — 16) \) см по длине. Высота получившейся коробки равна 8 см, что соответствует ширине отрезанной полосы. Объём коробки вычисляется как произведение длины, ширины и высоты, поэтому составляем уравнение: \( (x — 16)(1,5x — 16) \cdot 8 = 6080 \).

Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала перемножим двучлены \( (x — 16) \) и \( (1,5x — 16) \). Применяя распределительное свойство умножения, получаем: \( x \cdot 1,5x — x \cdot 16 — 16 \cdot 1,5x + 16 \cdot 16 = 1,5x^2 — 16x — 24x + 256 =\) \(= 1,5x^2 — 40x + 256 \). Теперь умножим полученное выражение на 8: \( 8 \cdot (1,5x^2 — 40x + 256) = 12x^2 — 320x + 2048 \). Уравнение принимает вид: \( 8 \cdot (1,5x^2 — 16x — 24x + 256) = 6080 \) \( | : 8 \). После деления обеих частей на 8 упрощаем: \( 1,5x^2 — 40x + 256 = 760 \).

Перенесём все члены в левую часть уравнения: \( 1,5x^2 — 40x + 256 — 760 = 0 \), откуда получаем \( 1,5x^2 — 40x — 504 = 0 \). Чтобы избежать работы с дробными коэффициентами, умножим обе части уравнения на 2: \( 1,5x^2 — 40x — 504 = 0 \) \( | \cdot 2 \), в результате получаем \( 3x^2 — 80x — 1008 = 0 \). Это квадратное уравнение стандартного вида, где коэффициент при \( x^2 \) равен 3, при \( x \) равен \( -80 \), а свободный член равен \( -1008 \).

Для решения квадратного уравнения \( 3x^2 — 80x — 1008 = 0 \) применим формулу дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -80 \), \( c = -1008 \). Подставляя значения: \( D = (-80)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1008) = 6400 + 12096 = 18496 \). Заметим, что \( 18496 = 136^2 \), так как \( 136 \times 136 = 18496 \). Дискриминант является полным квадратом, что означает наличие двух действительных корней.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляем найденные значения: \( x = \frac{-(-80) \pm \sqrt{18496}}{2 \cdot 3} = \frac{80 \pm 136}{6} \). Первый корень: \( x_1 = \frac{80 — 136}{6} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3} \) см. Этот корень отрицательный, что физически невозможно для длины картона, поэтому он не подходит. Второй корень: \( x_2 = \frac{80 + 136}{6} = \frac{216}{6} = 36 \) см. Этот корень положительный и имеет физический смысл.

Таким образом, ширина картона составляет \( x = 36 \) см. Длина картона вычисляется как \( 1,5x = 1,5 \cdot 36 = 54 \) см. Проверим полученный результат: при ширине 36 см и длине 54 см после отрезания полос шириной 16 см получаем размеры коробки \( (36 — 16) = 20 \) см по ширине, \( (54 — 16) = 38 \) см по длине и 8 см по высоте. Объём коробки: \( 20 \cdot 38 \cdot 8 = 760 \cdot 8 = 6080 \) кубических сантиметров, что совпадает с условием задачи.