ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 762 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.

Пусть два последовательных числа равны: \( x \) и \( x + 1 \). Составим уравнение:

\( (x+1)^3 — x^3 = 919 \)

\( (x^2 + 2x + 1)(x + 1) — x^3 = 919 \)

\( x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 — x^3 — 919 = 0 \)

\( 3x^2 + 3x — 918 = 0 \) \( | : 3 \)

\( x^2 + x — 306 = 0 \)

\( D = 1 + 4 \cdot 306 = 1 + 1224 = 1225 = 35^2 \)

\( x_1 = \frac{-1 — 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \) — не подходит,

\( x_2 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17 \) — первое число.

\( x + 1 = 17 + 1 = 18 \) — второе число.

Ответ: 17 и 18.

Пусть два последовательных числа равны \( x \) и \( x + 1 \). Нам нужно найти эти числа, зная, что куб большего числа минус куб меньшего числа равен 919. Составим уравнение на основе этого условия: \( (x+1)^3 — x^3 = 919 \). Это уравнение выражает разность кубов двух последовательных чисел.

Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала развернём куб суммы \( (x+1)^3 \) по формуле \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \). Получаем \( (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \). Теперь подставим это в исходное уравнение: \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 — x^3 = 919 \). Кубы \( x^3 \) взаимно уничтожаются, и мы получаем упрощённое уравнение: \( 3x^2 + 3x + 1 = 919 \).

Перенесём все члены в левую часть и приведём уравнение к стандартному виду: \( 3x^2 + 3x + 1 — 919 = 0 \), откуда \( 3x^2 + 3x — 918 = 0 \). Разделим всё уравнение на 3 для упрощения: \( x^2 + x — 306 = 0 \). Это квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант.

Вычислим дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -306 \). Получаем: \( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225 \). Заметим, что \( 1225 = 35^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что гарантирует два действительных корня.

Найдём корни квадратного уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляем значения: \( x_1 = \frac{-1 — 35}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 35}{2} = \frac{34}{2} = 17 \). Первый корень \( x_1 = -18 \) не подходит, так как в задаче подразумеваются положительные целые числа (два последовательных натуральных числа).

Принимаем \( x = 17 \) как первое число. Тогда второе число равно \( x + 1 = 17 + 1 = 18 \). Проверим: \( 18^3 — 17^3 = 5832 — 4913 = 919 \). Проверка подтверждает правильность решения. Два последовательных числа, разность кубов которых равна 919, — это 17 и 18.