Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 763 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.
Пусть два последовательных нечетных числа равны: \( 2n + 1 \) и \( 2n + 3 \).
Составим уравнение:
\( (2n + 3)^3 — (2n + 1)^3 = 866 \)
Применим формулу разности кубов \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \):
\( (2n + 3 — 2n — 1)((2n + 3)^2 + (2n + 3)(2n + 1) + (2n + 1)^2) = 866 \)
\( 2 \cdot (4n^2 + 12n + 9 + 4n^2 + 2n + 6n + 3 + 4n^2 + 4n + 1) = 866 \) \( | : 2 \)
\( 12n^2 + 24n + 13 = 433 \)
\( 12n^2 + 24n — 420 = 0 \) \( | : 12 \)
\( n^2 + 2n — 35 = 0 \)
\( D = 4 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144 = 12^2 \)
\( n_1 = \frac{-2 — 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \) — не подходит,
\( n_2 = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5. \)
\( 2n + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 11 \) — первое число.
\( 2n + 3 = 2 \cdot 5 + 3 = 13 \) — второе число.
Ответ: 11 и 13.
Обозначим два последовательных нечетных числа через \( 2n + 1 \) и \( 2n + 3 \), где \( n \) — целое число. Эта запись гарантирует, что оба числа нечетные и отличаются на 2. По условию задачи разность кубов этих чисел равна 866, поэтому составляем основное уравнение: \( (2n + 3)^3 — (2n + 1)^3 = 866 \). Это уравнение является ключевым для нахождения неизвестного параметра \( n \).
Для упрощения уравнения применим формулу разности кубов \( a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = 2n + 3 \) и \( b = 2n + 1 \). Вычислим разность оснований: \( (2n + 3) — (2n + 1) = 2n + 3 — 2n — 1 = 2 \). Это значительно упрощает вычисления, так как первый множитель становится просто числом 2. Теперь нужно найти второй множитель, который представляет собой сумму квадратов и произведения оснований.
Раскроем второй множитель пошагово. Вычислим \( (2n + 3)^2 = 4n^2 + 12n + 9 \), затем \( (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 \), и произведение \( (2n + 3)(2n + 1) = 4n^2 + 2n + 6n + 3 = 4n^2 + 8n + 3 \). Сложим все три выражения: \( 4n^2 + 12n + 9 + 4n^2 + 8n + 3 + 4n^2 + 4n + 1 = 12n^2 + 24n + 13 \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( 2(12n^2 + 24n + 13) = 866 \).
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: \( 12n^2 + 24n + 13 = 433 \). Перенесем все члены в левую часть и приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \( 12n^2 + 24n + 13 — 433 = 0 \), откуда получаем \( 12n^2 + 24n — 420 = 0 \). Разделим все коэффициенты на их общий делитель 12: \( n^2 + 2n — 35 = 0 \). Это квадратное уравнение решается стандартными методами.
Найдем дискриминант квадратного уравнения \( n^2 + 2n — 35 = 0 \) по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -35 \). Вычислим: \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \). Заметим, что \( 144 = 12^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом, что гарантирует наличие двух действительных корней.
Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \( n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 12}{2} \). Первый корень: \( n_1 = \frac{-2 — 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \). Второй корень: \( n_2 = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). Так как нам нужны положительные нечетные числа, корень \( n_1 = -7 \) не подходит, поскольку он приводит к отрицательным значениям. Следовательно, используем \( n = 5 \).
Подставим найденное значение \( n = 5 \) в формулы для нечетных чисел. Первое число: \( 2n + 1 = 2 \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11 \). Второе число: \( 2n + 3 = 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13 \). Оба числа действительно являются последовательными нечетными числами.
Проверим корректность найденного решения, вычислив разность кубов: \( 13^3 — 11^3 = 2197 — 1331 = 866 \). Результат совпадает с условием задачи, что подтверждает правильность решения. Таким образом, два последовательных нечетных числа, разность кубов которых равна 866, это 11 и 13.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!