Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 764 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) \( x^2 — \frac{5}{2}x + 12 = 0 \)
б) \( x^2 + \frac{2}{3}x — 72 = 0 \)
в) \( y^2 — 6y + 7 = 0 \)
г) \( p^2 — 10p + 7 = 0 \)
а) \( x^2 — 5\sqrt{2}x + 12 = 0 \) \( D = 25 \cdot 2 — 4 \cdot 12 = 50 — 48 = 2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 \)
\( x_1 = \frac{5\sqrt{2} — \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \)
\( x_2 = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \)
Проверка: \( x_1 + x_2 = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) — верно.
\( x_1 x_2 = 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12 \) — верно.
б) \( x^2 + 2\sqrt{3}x — 72 = 0 \) \( D = 4 \cdot 3 + 4 \cdot 72 = 12 + 288 = 300 = 10\sqrt{3} \)
\( x_1 = \frac{-2\sqrt{3} — 10\sqrt{3}}{2} = \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3} \)
\( x_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \)
Проверка: \( x_1 + x_2 = -6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = -2\sqrt{3} \) — верно.
\( x_1 x_2 = -6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = -24 \cdot 3 = -72 \) — верно.
в) \( y^2 — 6y + 7 = 0 \) \( D = 36 — 4 \cdot 7 = 36 — 28 = 8 = 2\sqrt{2} \)
\( y_1 = \frac{6 — 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2(3 — \sqrt{2})}{2} = 3 — \sqrt{2} \)
\( y_2 = \frac{6 + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2(3 + \sqrt{2})}{2} = 3 + \sqrt{2} \)
Проверка: \( y_1 + y_2 = 3 — \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2} = 6 \) — верно.
\( y_1 y_2 = (3 — \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 9 — 2 = 7 \) — верно.
г) \( p^2 — 10p + 7 = 0 \) \( D = 100 — 4 \cdot 7 = 100 — 28 = 72 = 6\sqrt{2} \)
\( p_1 = \frac{10 — 6\sqrt{2}}{2} = \frac{2(5 — 3\sqrt{2})}{2} = 5 — 3\sqrt{2} \)
\( p_2 = \frac{10 + 6\sqrt{2}}{2} = \frac{2(5 + 3\sqrt{2})}{2} = 5 + 3\sqrt{2} \)
Проверка: \( p_1 + p_2 = 5 — 3\sqrt{2} + 5 + 3\sqrt{2} = 10 \) — верно.
\( p_1 p_2 = (5 — 3\sqrt{2})(5 + 3\sqrt{2}) = 25 — 9 \cdot 2 = 25 — 18 = 7 \) — верно.
а) \( x^2 — 5\sqrt{2}x + 12 = 0 \) Для решения квадратного уравнения применяем формулу дискриминанта. Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = \left(5\sqrt{2}\right)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 25 \cdot 2 — 48 = 50 — 48 = 2 \). Дискриминант равен 2, что является положительным числом, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня. Заметим, что \( 2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 \), что позволит нам упростить вычисления при извлечении квадратного корня из дискриминанта.
Применяем формулу корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2} \). Вычислим первый корень: \( x_1 = \frac{5\sqrt{2} — \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \). Вычислим второй корень: \( x_2 = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \). Оба корня содержат иррациональное число \( \sqrt{2} \), что является типичным для квадратных уравнений с иррациональными коэффициентами.
Проверим корректность решения, используя теорему Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = 5\sqrt{2} \): \( x_1 + x_2 = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) — условие выполнено верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = 12 \): \( x_1 \cdot x_2 = 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12 \) — условие также выполнено верно. Таким образом, оба корня найдены правильно.
б) \( x^2 + 2\sqrt{3}x — 72 = 0 \) Вычислим дискриминант для этого уравнения: \( D = b^2 — 4ac = \left(2\sqrt{3}\right)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 4 \cdot 3 + 288 = 12 + 288 = 300 \). Число 300 можно представить как \( 100 \cdot 3 \), поэтому \( \sqrt{D} = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3} \). Дискриминант положительный, что гарантирует наличие двух различных действительных корней. Коэффициент при \( x \) положительный, а свободный член отрицательный, что означает, что корни будут иметь противоположные знаки.
Применяем формулу корней: \( x = \frac{-2\sqrt{3} \pm 10\sqrt{3}}{2} \). Для первого корня берём знак минус: \( x_1 = \frac{-2\sqrt{3} — 10\sqrt{3}}{2} = \frac{-12\sqrt{3}}{2} = -6\sqrt{3} \). Этот корень отрицательный, что соответствует нашему предположению. Для второго корня берём знак плюс: \( x_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \). Этот корень положительный. Оба корня содержат множитель \( \sqrt{3} \), что естественно для уравнения с коэффициентом \( 2\sqrt{3} \).
Проверим решение через теорему Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = -2\sqrt{3} \): \( x_1 + x_2 = -6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = -2\sqrt{3} \) — верно. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = -72 \): \( x_1 \cdot x_2 = -6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = -24 \cdot 3 = -72 \) — верно. Оба условия теоремы Виета выполнены, что подтверждает правильность найденных корней.
в) \( y^2 — 6y + 7 = 0 \) Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 — 28 = 8 \). Число 8 можно разложить как \( 4 \cdot 2 \), поэтому \( \sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \). Дискриминант положительный, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Оба коэффициента \( b \) и \( c \) положительны, что означает, что оба корня будут положительными числами, но меньше 6.
Применяем формулу корней: \( y = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = \frac{2(3 \pm \sqrt{2})}{2} = 3 \pm \sqrt{2} \). Первый корень: \( y_1 = 3 — \sqrt{2} \). Поскольку \( \sqrt{2} \approx 1,414 \), то \( y_1 \approx 3 — 1,414 = 1,586 \). Второй корень: \( y_2 = 3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1,414 = 4,414 \). Оба корня действительно положительны и находятся между 0 и 6, что соответствует нашему анализу коэффициентов.
Проверим через теорему Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = 6 \): \( y_1 + y_2 = (3 — \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 6 \) — верно, иррациональные части взаимно сокращаются. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = 7 \): \( y_1 \cdot y_2 = (3 — \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 9 — 2 = 7 \) — верно, здесь применена формула разности квадратов \( (a — b)(a + b) = a^2 — b^2 \). Оба условия выполнены корректно.
г) \( p^2 — 10p + 7 = 0 \) Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 100 — 28 = 72 \). Число 72 можно представить как \( 36 \cdot 2 \), поэтому \( \sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \). Дискриминант положительный и достаточно большой, что гарантирует два различных действительных корня. Оба коэффициента \( b \) и \( c \) положительны, поэтому оба корня будут положительными числами, расположенными между 0 и 10.
Применяем формулу корней: \( p = \frac{10 \pm 6\sqrt{2}}{2} = \frac{2(5 \pm 3\sqrt{2})}{2} = 5 \pm 3\sqrt{2} \). Первый корень: \( p_1 = 5 — 3\sqrt{2} \). Поскольку \( 3\sqrt{2} \approx 4,243 \), то \( p_1 \approx 5 — 4,243 = 0,757 \). Второй корень: \( p_2 = 5 + 3\sqrt{2} \approx 5 + 4,243 = 9,243 \). Оба корня положительны и находятся в ожидаемом диапазоне. Заметим, что коэффициент перед \( \sqrt{2} \) в корнях равен 3, что связано с множителем 6 в числителе дискриминанта.
Проверим через теорему Виета. Сумма корней должна равняться \( -\frac{b}{a} = 10 \): \( p_1 + p_2 = (5 — 3\sqrt{2}) + (5 + 3\sqrt{2}) = 10 \) — верно, иррациональные части полностью сокращаются. Произведение корней должно равняться \( \frac{c}{a} = 7 \): \( p_1 \cdot p_2 = (5 — 3\sqrt{2})(5 + 3\sqrt{2}) = 25 — 9 \cdot 2 = 25 — 18 = 7 \) — верно, снова применена формула разности квадратов. Все условия теоремы Виета выполнены корректно, что подтверждает правильность решения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!