ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 765 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите \( b \) и решите уравнение:

а) \( 2x^2 + bx — 10 = 0 \), если оно имеет корень 5;

б) \( 3x^2 + bx + 24 = 0 \), если оно имеет корень 3;

в) \( (b — 1)x^2 — (b + 1)x = 72 \), если оно имеет корень 3;

г) \( (b — 5)x^2 — (b — 2)x + b = 0 \), если оно имеет корень \( \frac{1}{2} \).

а) \( 2x^2 + bx — 10 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + \frac{b}{2}x — 5 = 0 \)

\( \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{2} \\ x_1 x_2 = -5 \end{cases} \) \( \begin{cases} x_1 = 5 \\ x_2 = -1 \end{cases} \) \( \begin{cases} 5 + (-1) = -\frac{b}{2} \\ 5 \cdot (-1) = -5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 5 \\ x_2 = -1 \\ 4 = -\frac{b}{2} \end{cases} \)

Ответ: \( b = -8, \) \( x_1 = 5, \) \( x_2 = -1. \)

б) \( 3x^2 + bx + 24 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + \frac{b}{3}x + 8 = 0 \)

\( \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{3} \\ x_1 x_2 = 8 \end{cases} \) \( \begin{cases} 3x_2 = -\frac{b}{3} \\ 3x_2 = 8 \end{cases} \) \( \begin{cases} x_2 = \frac{8}{3} \\ 9 + 8 = -b \end{cases} \)

Ответ: \( b = -17, \) \( x_1 = 3, \) \( x_2 = \frac{8}{3}. \)

в) \( (b — 1)x^2 — (b + 1)x = 72 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 — \frac{b+1}{b-1}x — \frac{72}{b-1} = 0 \)

\( \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{b+1}{b-1} \\ x_1 x_2 = -\frac{72}{b-1} \end{cases} \) \( \begin{cases} 3 + x_2 = \frac{b+1}{b-1} \\ 3x_2 = -\frac{72}{b-1} \end{cases} \)

\( 3 + x_2 = \frac{b+1}{b-1} \) \( \Rightarrow \) \( 3(b-1) — 24 = b + 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3b — 3 — 24 — b — 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2b = 28 \) \( \Rightarrow \) \( b = 14. \)

\( x_2 = \frac{-24}{14-1} — 3 = \frac{-24}{13} — 3 = -\frac{11}{13}. \)

Ответ: \( b = 14, \) \( x_1 = 3, \) \( x_2 = -\frac{11}{13}. \)

г) \( (b — 5)x^2 — (b — 2)x + b = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 — \frac{b-2}{b-5}x + \frac{b}{b-5} = 0 \)

\( \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{b-2}{b-5} \\ x_1 x_2 = \frac{b}{b-5} \end{cases} \) \( \begin{cases} \frac{1}{2} + x_2 = \frac{b-2}{b-5} \\ \frac{1}{2} \cdot x_2 = \frac{b}{b-5} \end{cases} \)

\( \frac{1}{2} + x_2 = \frac{b-2}{b-5} \) \( \Rightarrow \) \( \frac{b-5+4b-2(b-2)}{2(b-5)} = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 5b — 5 — 2b + 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 3b = 1 \) \( \Rightarrow \) \( b = \frac{1}{3}. \)

\( x_2 = \frac{2}{3} : \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{2}. \)

Ответ: \( b = \frac{1}{3}, \) \( x_1 = \frac{1}{2}, \) \( x_2 = -\frac{1}{7}. \)

а) \( 2x^2 + bx — 10 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + \frac{b}{2}x — 5 = 0 \)

Для решения этого уравнения используем теорему Виета, которая связывает коэффициенты квадратного уравнения с его корнями. Для приведённого квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) сумма корней равна \( -p \), а произведение корней равно \( q \). В нашем случае сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{2} \), а произведение \( x_1 x_2 = -5 \). Из условия задачи известно, что один из корней равен 5, поэтому подставляем его в формулу произведения: \( 5 \cdot x_2 = -5 \), откуда получаем \( x_2 = -1 \).

Теперь используем формулу суммы корней для нахождения параметра \( b \). Подставляем найденные корни: \( 5 + (-1) = -\frac{b}{2} \), что дает нам \( 4 = -\frac{b}{2} \). Умножая обе части на \( -2 \), получаем \( b = -8 \). Проверим: при \( b = -8 \) уравнение принимает вид \( 2x^2 — 8x — 10 = 0 \) или \( x^2 — 4x — 5 = 0 \), корни которого действительно равны 5 и \( -1 \).

б) \( 3x^2 + bx + 24 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 + \frac{b}{3}x + 8 = 0 \)

Применяя теорему Виета к приведённому уравнению, получаем, что сумма корней равна \( -\frac{b}{3} \), а произведение корней равно 8. Из условия задачи известно, что один из корней равен 3. Подставляя в формулу произведения: \( 3 \cdot x_2 = 8 \), находим второй корень \( x_2 = \frac{8}{3} \).

Для нахождения параметра \( b \) используем формулу суммы корней: \( 3 + \frac{8}{3} = -\frac{b}{3} \). Приводим левую часть к общему знаменателю: \( \frac{9}{3} + \frac{8}{3} = \frac{17}{3} = -\frac{b}{3} \). Умножая обе части на \( -3 \), получаем \( b = -17 \). Проверка показывает, что при \( b = -17 \) произведение корней действительно равно \( \frac{24}{3} = 8 \), а сумма равна \( 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3} \), что соответствует \( -\frac{-17}{3} = \frac{17}{3} \).

в) \( (b — 1)x^2 — (b + 1)x = 72 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 — \frac{b+1}{b-1}x — \frac{72}{b-1} = 0 \)

Приведём исходное уравнение к стандартному виду, разделив все члены на коэффициент при \( x^2 \), то есть на \( (b-1) \). Получаем приведённое квадратное уравнение, где коэффициент при \( x \) равен \( -\frac{b+1}{b-1} \), а свободный член равен \( -\frac{72}{b-1} \). По теореме Виета сумма корней составляет \( \frac{b+1}{b-1} \), а произведение корней равно \( -\frac{72}{b-1} \). Из условия известно, что один из корней равен 3.

Подставляя \( x_1 = 3 \) в формулу произведения: \( 3 \cdot x_2 = -\frac{72}{b-1} \), откуда \( x_2 = -\frac{24}{b-1} \). Теперь используем формулу суммы корней: \( 3 + x_2 = \frac{b+1}{b-1} \), то есть \( 3 — \frac{24}{b-1} = \frac{b+1}{b-1} \). Приводим к общему знаменателю левую часть: \( \frac{3(b-1) — 24}{b-1} = \frac{b+1}{b-1} \). Числители должны быть равны: \( 3(b-1) — 24 = b + 1 \), откуда \( 3b — 3 — 24 = b + 1 \), то есть \( 2b = 28 \), и \( b = 14 \).

Находим второй корень: \( x_2 = -\frac{24}{14-1} = -\frac{24}{13} \). Проверим сумму: \( 3 — \frac{24}{13} = \frac{39 — 24}{13} = \frac{15}{13} \), и действительно \( \frac{b+1}{b-1} = \frac{14+1}{14-1} = \frac{15}{13} \). Произведение: \( 3 \cdot \left(-\frac{24}{13}\right) = -\frac{72}{13} = -\frac{72}{14-1} \), что соответствует формуле.

г) \( (b — 5)x^2 — (b — 2)x + b = 0 \) \( \Rightarrow \) \( x^2 — \frac{b-2}{b-5}x + \frac{b}{b-5} = 0 \)

Приводим уравнение к приведённому виду, разделив на коэффициент \( (b-5) \). По теореме Виета сумма корней равна \( \frac{b-2}{b-5} \), а произведение корней равно \( \frac{b}{b-5} \). Из условия задачи известно, что один из корней равен \( \frac{1}{2} \). Подставляя в формулу произведения: \( \frac{1}{2} \cdot x_2 = \frac{b}{b-5} \), откуда \( x_2 = \frac{2b}{b-5} \).

Используем формулу суммы корней: \( \frac{1}{2} + x_2 = \frac{b-2}{b-5} \), то есть \( \frac{1}{2} + \frac{2b}{b-5} = \frac{b-2}{b-5} \). Приводим левую часть к общему знаменателю: \( \frac{b-5 + 4b}{2(b-5)} = \frac{b-2}{b-5} \), откуда \( \frac{5b — 5}{2(b-5)} = \frac{b-2}{b-5} \). Умножаем обе части на \( (b-5) \): \( \frac{5b — 5}{2} = b — 2 \). Умножаем на 2: \( 5b — 5 = 2b — 4 \), откуда \( 3b = 1 \), и \( b = \frac{1}{3} \).

Находим второй корень: \( x_2 = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} — 5} = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{14}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{14}\right) = -\frac{1}{7} \). Проверим произведение: \( \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{14} \), и действительно \( \frac{b}{b-5} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} — 5} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{14}{3}} = -\frac{1}{14} \). Сумма корней: \( \frac{1}{2} — \frac{1}{7} = \frac{7 — 2}{14} = \frac{5}{14} \), и \( \frac{b-2}{b-5} = \frac{\frac{1}{3} — 2}{\frac{1}{3} — 5} = \frac{-\frac{5}{3}}{-\frac{14}{3}} = \frac{5}{14} \), что подтверждает правильность решения.