ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 766 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение \( 7x^2 + bx — 23 = 0 \) при любых значениях \( b \) имеет один положительный и один отрицательный корень.

Дано уравнение \( 7x^2 + bx — 23 = 0 \)

Разделим на 7: \( x^2 + \frac{b}{7}x — \frac{23}{7} = 0 \)

По теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{7} \)
\( x_1 x_2 = -\frac{23}{7} \)

Так как \( -\frac{b}{7} < 0 \) и \( -\frac{23}{7} < 0 \), то \( x_1 > 0, \quad x_2 < 0 \) Произведение корней отрицательно \( \left( x_1 x_2 = -\frac{23}{7} < 0 \right) \), что означает корни имеют противоположные знаки. Сумма корней отрицательна \( \left( x_1 + x_2 = -\frac{b}{7} < 0 \right) \), следовательно, модуль отрицательного корня больше модуля положительного корня, то есть \( x_1 > 0 \) и \( x_2 < 0 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( 7x^2 + bx — 23 = 0 \). Для анализа знаков корней применим теорему Виета, которая связывает коэффициенты уравнения с суммой и произведением его корней. Сначала приведём уравнение к стандартному виду, разделив все члены на коэффициент при \( x^2 \), то есть на 7. Получаем \( x^2 + \frac{b}{7}x — \frac{23}{7} = 0 \). Это преобразование необходимо для применения теоремы Виета в её классической форме, когда коэффициент при старшей степени равен единице.

По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) справедливы соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = q \). В нашем случае \( p = \frac{b}{7} \) и \( q = -\frac{23}{7} \). Следовательно, \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{7} \) и \( x_1 x_2 = -\frac{23}{7} \). Произведение корней равно \( -\frac{23}{7} \), что является отрицательным числом, поскольку числитель отрицателен, а знаменатель положителен. Это означает, что корни имеют противоположные знаки: один корень положительный, другой отрицательный.

Теперь определим, какой из корней положительный, а какой отрицательный. Из условия задачи известно, что \( -\frac{b}{7} < 0 \), то есть сумма корней отрицательна. Поскольку произведение корней отрицательно, они имеют разные знаки. Пусть \( x_1 > 0 \) и \( x_2 < 0 \). Тогда их сумма \( x_1 + x_2 < 0 \) означает, что \( |x_2| > |x_1| \), то есть модуль отрицательного корня больше модуля положительного корня. Это условие полностью согласуется с тем, что сумма положительного и отрицательного чисел отрицательна только в том случае, если абсолютное значение отрицательного числа превышает абсолютное значение положительного. Таким образом, из анализа произведения и суммы корней следует, что \( x_1 > 0 \) и \( x_2 < 0 \). Проверим логику полученного результата через конкретный пример. Рассмотрим произведение \( x_1 \cdot x_2 = -\frac{23}{7} \approx -3{,}29 \). Если один корень положительный, а другой отрицательный, то их произведение действительно отрицательно, что совпадает с нашим вычислением. Сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{7} < 0 \) означает, что при сложении положительного корня с отрицательным результат отрицателен. Это возможно только если отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного. Например, если \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -5 \), то \( x_1 + x_2 = 2 - 5 = -3 < 0 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-5) = -10 < 0 \). Оба условия выполнены, что подтверждает корректность анализа. Следовательно, заключение о том, что \( x_1 > 0 \) и \( x_2 < 0 \), является верным и логически обоснованным на основе теоремы Виета и свойств действительных чисел.