Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 766 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что уравнение \( 7x^2 + bx — 23 = 0 \) при любых значениях \( b \) имеет один положительный и один отрицательный корень.
Дано уравнение \( 7x^2 + bx — 23 = 0 \)
Разделим на 7: \( x^2 + \frac{b}{7}x — \frac{23}{7} = 0 \)
По теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{7} \)
\( x_1 x_2 = -\frac{23}{7} \)
Так как \( -\frac{b}{7} < 0 \) и \( -\frac{23}{7} < 0 \), то \( x_1 > 0, \quad x_2 < 0 \) Произведение корней отрицательно \( \left( x_1 x_2 = -\frac{23}{7} < 0 \right) \), что означает корни имеют противоположные знаки. Сумма корней отрицательна \( \left( x_1 + x_2 = -\frac{b}{7} < 0 \right) \), следовательно, модуль отрицательного корня больше модуля положительного корня, то есть \( x_1 > 0 \) и \( x_2 < 0 \).
Рассмотрим квадратное уравнение \( 7x^2 + bx — 23 = 0 \). Для анализа знаков корней применим теорему Виета, которая связывает коэффициенты уравнения с суммой и произведением его корней. Сначала приведём уравнение к стандартному виду, разделив все члены на коэффициент при \( x^2 \), то есть на 7. Получаем \( x^2 + \frac{b}{7}x — \frac{23}{7} = 0 \). Это преобразование необходимо для применения теоремы Виета в её классической форме, когда коэффициент при старшей степени равен единице.
По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) справедливы соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = q \). В нашем случае \( p = \frac{b}{7} \) и \( q = -\frac{23}{7} \). Следовательно, \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{7} \) и \( x_1 x_2 = -\frac{23}{7} \). Произведение корней равно \( -\frac{23}{7} \), что является отрицательным числом, поскольку числитель отрицателен, а знаменатель положителен. Это означает, что корни имеют противоположные знаки: один корень положительный, другой отрицательный.
Теперь определим, какой из корней положительный, а какой отрицательный. Из условия задачи известно, что \( -\frac{b}{7} < 0 \), то есть сумма корней отрицательна. Поскольку произведение корней отрицательно, они имеют разные знаки. Пусть \( x_1 > 0 \) и \( x_2 < 0 \). Тогда их сумма \( x_1 + x_2 < 0 \) означает, что \( |x_2| > |x_1| \), то есть модуль отрицательного корня больше модуля положительного корня. Это условие полностью согласуется с тем, что сумма положительного и отрицательного чисел отрицательна только в том случае, если абсолютное значение отрицательного числа превышает абсолютное значение положительного. Таким образом, из анализа произведения и суммы корней следует, что \( x_1 > 0 \) и \( x_2 < 0 \). Проверим логику полученного результата через конкретный пример. Рассмотрим произведение \( x_1 \cdot x_2 = -\frac{23}{7} \approx -3{,}29 \). Если один корень положительный, а другой отрицательный, то их произведение действительно отрицательно, что совпадает с нашим вычислением. Сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{7} < 0 \) означает, что при сложении положительного корня с отрицательным результат отрицателен. Это возможно только если отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного. Например, если \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -5 \), то \( x_1 + x_2 = 2 - 5 = -3 < 0 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-5) = -10 < 0 \). Оба условия выполнены, что подтверждает корректность анализа. Следовательно, заключение о том, что \( x_1 > 0 \) и \( x_2 < 0 \), является верным и логически обоснованным на основе теоремы Виета и свойств действительных чисел.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!