ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 767 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение \( 12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0 \) при любых значениях \( a \) не имеет положительных корней.

Дано уравнение \( 12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0 \).

Разделим на 12: \( x^2 + \frac{70}{12}x + \frac{a^2 + 1}{12} = 0 \).

По теореме Виета для корней \( x_1 \) и \( x_2 \):

\( x_1 + x_2 = -\frac{70}{12} \)

\( x_1 x_2 = \frac{a^2 + 1}{12} \)

Так как \( -\frac{70}{12} < 0 \), то корни могут быть \( x_1 > 0, x_2 < 0 \) или \( x_1 < 0, x_2 < 0 \). Так как \( \frac{a^2 + 1}{12} > 0 \) (произведение корней положительно), то оба корня имеют одинаковый знак. Поскольку их сумма отрицательна, оба корня отрицательны.

Следовательно, корни могут быть только \( x_1 < 0, x_2 < 0 \).

Рассмотрим квадратное уравнение \( 12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0 \). Для анализа знаков корней этого уравнения необходимо применить теорему Виета, которая связывает коэффициенты уравнения с суммой и произведением его корней. Разделим исходное уравнение на коэффициент при \( x^2 \), то есть на 12, чтобы привести его к стандартному виду: \( x^2 + \frac{70}{12}x + \frac{a^2 + 1}{12} = 0 \). Упростим дробь \( \frac{70}{12} = \frac{35}{6} \), однако в исходной записи оставим её как \( \frac{70}{12} \) для соответствия условию задачи. Теперь по теореме Виета для корней \( x_1 \) и \( x_2 \) получаем два соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -\frac{70}{12} \) и произведение корней равно \( x_1 x_2 = \frac{a^2 + 1}{12} \).

Проанализируем знак суммы корней. Поскольку \( -\frac{70}{12} < 0 \), сумма обоих корней является отрицательной величиной. Это означает, что если оба корня имеют одинаковый знак, то оба они должны быть отрицательными. Если же корни имеют разные знаки, то отрицательный корень по абсолютной величине должен быть больше положительного корня. Таким образом, на этом этапе анализа мы можем предположить два возможных сценария: либо оба корня отрицательны \( x_1 < 0, x_2 < 0 \), либо один корень положителен, а другой отрицателен \( x_1 > 0, x_2 < 0 \) (или наоборот). Теперь рассмотрим произведение корней. Заметим, что \( a^2 \geq 0 \) для любого действительного числа \( a \), поэтому \( a^2 + 1 \geq 1 > 0 \). Следовательно, \( x_1 x_2 = \frac{a^2 + 1}{12} > 0 \), то есть произведение корней всегда положительно. Произведение двух чисел положительно только в том случае, если оба числа имеют одинаковый знак: либо оба положительны, либо оба отрицательны. Это исключает возможность того, что корни имеют разные знаки.

Объединяя оба условия, получаем окончательный вывод. Из первого условия \( x_1 + x_2 = -\frac{70}{12} < 0 \) следует, что если оба корня имеют одинаковый знак, то они оба отрицательны. Из второго условия \( x_1 x_2 = \frac{a^2 + 1}{12} > 0 \) следует, что корни обязательно имеют одинаковый знак. Комбинируя эти два вывода, мы заключаем, что оба корня уравнения \( 12x^2 + 70x + a^2 + 1 = 0 \) могут быть только отрицательными, то есть \( x_1 < 0 \) и \( x_2 < 0 \). Это справедливо для любого действительного значения параметра \( a \), поскольку условие \( a^2 + 1 > 0 \) выполняется всегда.