Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 768 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:
а) \( 2x^2 — 41x + 39 = 0 \);
б) \( 17x^2 + 243x — 260 = 0 \).
Доказано, что если сумма коэффициентов равна \( 0 \), то один из корней равен \( 1 \).
Дано уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a + b + c = 0 \).
Из условия \( a + b + c = 0 \) получаем \( b = -a — c \).
Найдём дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = a^2 + 2ac + c^2 — 4ac = a^2 — 2ac + c^2 = (a — c)^2 \)
Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b — a + c}{2a} = \frac{a + c — a + c}{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a} \); \( x_2 = \frac{-b + a — c}{2a} = \frac{a + c + a — c}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 \)
Таким образом, один из корней всегда равен \( 1 \).
а) \( 2x^2 — 41x + 39 = 0 \). Проверка: \( 2 — 41 + 39 = 0 \). Разделим на \( 2 \): \( x^2 — 20,5x + 19,5 = 0 \)
По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 20,5 \); \( x_1 \cdot x_2 = 19,5 \)
Так как \( a + b + c = 0 \), то \( x_1 = 1 \), следовательно \( x_2 = 19,5 \).
б) \( 17x^2 + 243x — 260 = 0 \). Проверка: \( 17 + 243 — 260 = 0 \). Разделим на \( 17 \): \( x^2 + \frac{243}{17}x — \frac{260}{17} = 0 \)
Упростим: \( x^2 + 14\frac{5}{17}x — 15\frac{5}{17} = 0 \)
По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -14\frac{5}{17} \); \( x_1 \cdot x_2 = -15\frac{5}{17} \)
Так как \( a + b + c = 0 \), то \( x_1 = 1 \), следовательно \( x_2 = -15\frac{5}{17} \).
Рассмотрим квадратное уравнение общего вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) удовлетворяют условию \( a + b + c = 0 \). Это условие означает, что сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю. Из этого условия можно выразить один из коэффициентов через другие: \( b = -a — c \). Это выражение будет использовано при вычислении дискриминанта и корней уравнения. Такое соотношение между коэффициентами является ключевым для доказательства того, что одним из корней уравнения всегда будет число \( 1 \).
Вычислим дискриминант уравнения, подставив выражение \( b = -a — c \) в формулу \( D = b^2 — 4ac \). Получаем: \( D = (-a — c)^2 — 4ac = a^2 + 2ac + c^2 — 4ac = a^2 — 2ac + c^2 \). Заметим, что полученное выражение \( a^2 — 2ac + c^2 \) является полным квадратом разности: \( D = (a — c)^2 \). Это означает, что дискриминант всегда неотрицателен и представляет собой квадрат некоторого выражения. Благодаря этому уравнение всегда имеет два действительных корня, которые можно найти по формуле корней квадратного уравнения.
Найдём корни уравнения, используя формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставим \( b = -a — c \) и \( \sqrt{D} = |a — c| = a — c \) (предполагая \( a > c \)). Первый корень: \( x_1 = \frac{-(-a — c) — (a — c)}{2a} = \frac{a + c — a + c}{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a} \). Второй корень: \( x_2 = \frac{-(-a — c) + (a — c)}{2a} = \frac{a + c + a — c}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 \). Таким образом, при условии \( a + b + c = 0 \) один из корней уравнения всегда равен \( 1 \), а второй корень равен отношению \( \frac{c}{a} \).
а) Рассмотрим уравнение \( 2x^2 — 41x + 39 = 0 \). Проверим условие суммы коэффициентов: \( 2 + (-41) + 39 = 2 — 41 + 39 = 0 \). Условие выполнено, поэтому один из корней должен быть равен \( 1 \). Для удобства разделим всё уравнение на коэффициент при \( x^2 \), то есть на \( 2 \): \( x^2 — 20,5x + 19,5 = 0 \). По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения сумма корней равна \( x_1 + x_2 = 20,5 \), а произведение корней равно \( x_1 \cdot x_2 = 19,5 \).
Поскольку мы знаем, что один из корней равен \( 1 \), обозначим его как \( x_1 = 1 \). Тогда из условия суммы корней получаем: \( 1 + x_2 = 20,5 \), откуда \( x_2 = 19,5 \). Проверим это через произведение: \( 1 \cdot 19,5 = 19,5 \), что совпадает с произведением корней по теореме Виета. Таким образом, корни уравнения \( 2x^2 — 41x + 39 = 0 \) равны \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 19,5 \).
б) Рассмотрим уравнение \( 17x^2 + 243x — 260 = 0 \). Проверим условие суммы коэффициентов: \( 17 + 243 + (-260) = 17 + 243 — 260 = 0 \). Условие выполнено, следовательно, один из корней равен \( 1 \). Разделим уравнение на коэффициент при \( x^2 \), то есть на \( 17 \): \( x^2 + \frac{243}{17}x — \frac{260}{17} = 0 \). Преобразуем дроби в смешанные числа для удобства: \( \frac{243}{17} = 14\frac{5}{17} \) и \( \frac{260}{17} = 15\frac{5}{17} \). Таким образом, уравнение принимает вид: \( x^2 + 14\frac{5}{17}x — 15\frac{5}{17} = 0 \).
По теореме Виета сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -14\frac{5}{17} \), а произведение корней равно \( x_1 \cdot x_2 = -15\frac{5}{17} \). Так как один из корней равен \( 1 \), обозначим его как \( x_1 = 1 \). Из условия суммы корней получаем: \( 1 + x_2 = -14\frac{5}{17} \), откуда \( x_2 = -15\frac{5}{17} \). Проверим через произведение: \( 1 \cdot \left(-15\frac{5}{17}\right) = -15\frac{5}{17} \), что совпадает с произведением корней. Следовательно, корни уравнения \( 17x^2 + 243x — 260 = 0 \) равны \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -15\frac{5}{17} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!