ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 769 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разность корней уравнения \( 3x^2 + bx + 10 = 0 \) равна \( 4\frac{1}{3} \). Найдите \( b \).

Дано уравнение \( 3x^2 + bx + 10 = 0 \) с условиями: \( x_1 — x_2 = 4\frac{1}{3} \) и \( x_1 x_2 = \frac{10}{3} \).

Разделим уравнение на 3: \( x^2 + \frac{b}{3}x + \frac{10}{3} = 0 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{3} \) и \( x_1 x_2 = \frac{10}{3} \).

Из условия \( x_1 — x_2 = 4\frac{1}{3} = \frac{13}{3} \) и \( x_1 x_2 = \frac{10}{3} \) найдём корни.

Из системы:
\( x_1 = \frac{13}{3} + x_2 \)

\( \left(\frac{13}{3} + x_2\right) x_2 = \frac{10}{3} \)

\( \frac{13}{3}x_2 + x_2^2 = \frac{10}{3} \) \( | \cdot 3 \)

\( 3x_2^2 + 13x_2 — 10 = 0 \)

\( D = 169 + 4 \cdot 3 \cdot 10 = 169 + 120 = 289 = 17^2 \)

\( x_1 = \frac{-13 — 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \), \( x_2 = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

При \( x_2 = -5 \): \( x_1 = \frac{13}{3} — 5 = 4\frac{1}{3} — 5 = -\frac{2}{3} \)

При \( x_2 = \frac{2}{3} \): \( x_1 = \frac{13}{3} + \frac{2}{3} = \frac{15}{3} = 5 \)

Проверим: \( 3x_1 + 3x_2 = -b \)

Первый случай: \( 3 \cdot (-5) + 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -15 — 2 = -17 = -b \), откуда \( b = 17 \)

Второй случай: \( 3 \cdot 5 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 15 + 2 = 17 = -b \), откуда \( b = -17 \)

Ответ: \( b = \pm 17 \)

Дано квадратное уравнение \( 3x^2 + bx + 10 = 0 \), где требуется найти значение параметра \( b \), если известны два условия: разность корней \( x_1 — x_2 = 4\frac{1}{3} \) и произведение корней \( x_1 x_2 = \frac{10}{3} \). Для решения этой задачи необходимо использовать теорему Виета, которая связывает коэффициенты уравнения с суммой и произведением его корней, а также применить алгебраические преобразования для нахождения самих корней.

Прежде всего разделим исходное уравнение на коэффициент при \( x^2 \), то есть на 3, чтобы привести его к приведённому виду: \( x^2 + \frac{b}{3}x + \frac{10}{3} = 0 \). По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения вида \( x^2 + px + q = 0 \) сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -p = -\frac{b}{3} \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = q = \frac{10}{3} \). Таким образом, мы имеем систему условий: произведение корней уже дано как \( \frac{10}{3} \), а сумму корней нужно найти через разность и произведение.

Используя условие \( x_1 — x_2 = \frac{13}{3} \) (так как \( 4\frac{1}{3} = \frac{13}{3} \)), составим систему уравнений. Из условия \( x_1 — x_2 = \frac{13}{3} \) выразим первый корень через второй: \( x_1 = \frac{13}{3} + x_2 \). Подставим это выражение в условие произведения: \( \left(\frac{13}{3} + x_2\right) x_2 = \frac{10}{3} \). Раскроем скобки: \( \frac{13}{3}x_2 + x_2^2 = \frac{10}{3} \). Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей: \( 13x_2 + 3x_2^2 = 10 \), или переписав в стандартном виде: \( 3x_2^2 + 13x_2 — 10 = 0 \).

Решим полученное квадратное уравнение \( 3x_2^2 + 13x_2 — 10 = 0 \) через дискриминант. Вычислим дискриминант: \( D = b^2 — 4ac = 13^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 \). Заметим, что \( 289 = 17^2 \), поэтому дискриминант является полным квадратом. Найдём корни по формуле: \( x_2 = \frac{-13 \pm 17}{2 \cdot 3} = \frac{-13 \pm 17}{6} \). Получаем два значения: \( x_2 = \frac{-13 — 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).

Для каждого значения \( x_2 \) найдём соответствующее значение \( x_1 \) из условия \( x_1 = \frac{13}{3} + x_2 \). В первом случае, когда \( x_2 = -5 \): \( x_1 = \frac{13}{3} + (-5) = \frac{13}{3} — \frac{15}{3} = -\frac{2}{3} \). Проверим: разность \( x_1 — x_2 = -\frac{2}{3} — (-5) = -\frac{2}{3} + 5 = \frac{-2 + 15}{3} = \frac{13}{3} \) — верно, и произведение \( x_1 x_2 = -\frac{2}{3} \cdot (-5) = \frac{10}{3} \) — также верно. Во втором случае, когда \( x_2 = \frac{2}{3} \): \( x_1 = \frac{13}{3} + \frac{2}{3} = \frac{15}{3} = 5 \). Проверим: разность \( x_1 — x_2 = 5 — \frac{2}{3} = \frac{15 — 2}{3} = \frac{13}{3} \) — верно, и произведение \( x_1 x_2 = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \) — также верно.

Теперь найдём значение параметра \( b \) для каждой пары корней. По теореме Виета \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{3} \), откуда \( b = -3(x_1 + x_2) \). Для первого случая с корнями \( x_1 = -\frac{2}{3} \) и \( x_2 = -5 \): сумма \( x_1 + x_2 = -\frac{2}{3} + (-5) = -\frac{2}{3} — 5 = -\frac{2}{3} — \frac{15}{3} = -\frac{17}{3} \). Тогда \( b = -3 \cdot \left(-\frac{17}{3}\right) = 17 \). Для второго случая с корнями \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = \frac{2}{3} \): сумма \( x_1 + x_2 = 5 + \frac{2}{3} = \frac{15}{3} + \frac{2}{3} = \frac{17}{3} \). Тогда \( b = -3 \cdot \frac{17}{3} = -17 \).

Проверим оба решения, подставляя найденные значения \( b \) и корни в исходное уравнение. Для \( b = 17 \) и корней \( x_1 = -\frac{2}{3} \), \( x_2 = -5 \): уравнение имеет вид \( 3x^2 + 17x + 10 = 0 \). Подставим \( x = -\frac{2}{3} \): \( 3 \cdot \frac{4}{9} + 17 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 10 = \frac{4}{3} — \frac{34}{3} + \frac{30}{3} = \frac{4 — 34 + 30}{3} = 0 \) — верно. Подставим \( x = -5 \): \( 3 \cdot 25 + 17 \cdot (-5) + 10 = 75 — 85 + 10 = 0 \) — верно. Для \( b = -17 \) и корней \( x_1 = 5 \), \( x_2 = \frac{2}{3} \): уравнение имеет вид \( 3x^2 — 17x + 10 = 0 \). Подставим \( x = 5 \): \( 3 \cdot 25 — 17 \cdot 5 + 10 = 75 — 85 + 10 = 0 \) — верно. Подставим \( x = \frac{2}{3} \): \( 3 \cdot \frac{4}{9} — 17 \cdot \frac{2}{3} + 10 = \frac{4}{3} — \frac{34}{3} + \frac{30}{3} = 0 \) — верно.

Таким образом, задача имеет два решения: \( b = 17 \) и \( b = -17 \), то есть \( b = \pm 17 \). Оба значения параметра удовлетворяют всем условиям задачи: при каждом из них существует пара корней, разность которых равна \( \frac{13}{3} \), а произведение равно \( \frac{10}{3} \).