ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 770 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Один из корней уравнения \( 5x^2 — 12x + c = 0 \) в 3 раза больше другого. Найдите \( c \).

Дано уравнение \( 5x^2 — 12x + c = 0 \).

Разделим на 5: \( x^2 — 2,4x + \frac{c}{5} = 0 \).

По условию одно из решений \( x = 0,6 \).

Из системы \( \begin{cases} x + 3x = 2,4 \\ 3x^2 = \frac{c}{5} \end{cases} \) получаем \( 4x = 2,4 \), откуда \( x = 0,6 \).

Подставим \( x = 0,6 \) во второе уравнение: \( 15 \cdot (0,6)^2 = c \).

\( 15 \cdot 0,36 = c \).

\( c = 5,4 \).

Ответ: \( c = 5,4 \).

Дано квадратное уравнение \( 5x^2 — 12x + c = 0 \), в котором необходимо найти значение параметра \( c \). Для решения этой задачи используется информация о том, что корни уравнения связаны определённым соотношением. Сначала приведём уравнение к стандартному виду, разделив все его члены на коэффициент при \( x^2 \), то есть на 5. Это даст нам \( x^2 — 2,4x + \frac{c}{5} = 0 \). Такое преобразование облегчает работу с коэффициентами и позволяет применить теорему Виета или анализировать корни более удобным способом.

Из условия задачи известно, что один из корней уравнения равен \( x = 0,6 \). Кроме того, из системы условий, представленной в решении, следует, что сумма корней связана соотношением \( x + 3x = 2,4 \), где \( x \) — это один из корней. Это означает, что если обозначить корни как \( x_1 \) и \( x_2 \), то \( x_1 + 3x_1 = 2,4 \), откуда получаем \( 4x_1 = 2,4 \) и, следовательно, \( x_1 = 0,6 \). Второе условие в системе \( 3x^2 = \frac{c}{5} \) указывает на связь между корнем и параметром \( c \). Это соотношение вытекает из особенностей структуры уравнения и его коэффициентов.

Подставим найденное значение корня \( x = 0,6 \) во второе уравнение системы \( 3x^2 = \frac{c}{5} \). Получаем \( 3 \cdot (0,6)^2 = \frac{c}{5} \). Вычислим \( (0,6)^2 = 0,36 \), тогда \( 3 \cdot 0,36 = \frac{c}{5} \), что даёт \( 1,08 = \frac{c}{5} \). Однако, согласно исходному решению, используется формула \( 15 \cdot (0,6)^2 = c \), которая получается путём умножения обеих частей уравнения на 5 и дальнейшего преобразования. Это означает, что \( c = 15 \cdot 0,36 \).

Вычислим произведение: \( 15 \cdot 0,36 = 5,4 \). Таким образом, параметр \( c = 5,4 \). Проверим корректность полученного результата, подставив \( c = 5,4 \) обратно в исходное уравнение \( 5x^2 — 12x + 5,4 = 0 \). При \( x = 0,6 \) имеем \( 5 \cdot (0,6)^2 — 12 \cdot 0,6 + 5,4 = 5 \cdot 0,36 — 7,2 + 5,4 = 1,8 — 7,2 + 5,4 = 0 \). Уравнение действительно удовлетворяется, что подтверждает правильность найденного значения параметра.

Метод решения, использованный в этой задаче, основан на применении соотношений между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Когда известно, что один из корней имеет определённое значение, а корни связаны специальным соотношением (в данном случае \( x + 3x = 2,4 \)), можно составить систему уравнений и найти неизвестный параметр. Этот подход демонстрирует важность понимания структуры квадратного уравнения и умения использовать дополнительные условия для определения его параметров. Полученный ответ \( c = 5,4 \) полностью соответствует всем условиям задачи и является единственным правильным решением.