ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 771 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Частное корней уравнения \( 4x^2 + bx — 27 = 0 \) равно \( -3 \). Найдите \( b \).

Дано уравнение \( 4x^2 + bx — 27 = 0 \). Разделим на 4: \( x^2 + \frac{b}{4}x — \frac{27}{4} = 0 \).

Пусть \( \frac{x_1}{x_2} = -3 \), тогда \( x_1 = -3x_2 \).

По теореме Виета: \( x_1 x_2 = -\frac{27}{4} \).

Подставим: \( -3x_2 \cdot x_2 = -\frac{27}{4} \) \( \Rightarrow \) \( -3x_2^2 = -\frac{27}{4} \) \( \Rightarrow \) \( x_2^2 = 2,25 \) \( \Rightarrow \) \( x_2 = \pm 1,5 \).

Если \( x_2 = 1,5 \), то \( x_1 = -3 \cdot 1,5 = -4,5 \).

Если \( x_2 = -1,5 \), то \( x_1 = -3 \cdot (-1,5) = 4,5 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{4} \).

Для первого случая: \( -4,5 + 1,5 = -\frac{b}{4} \) \( \Rightarrow \) \( -3 = -\frac{b}{4} \) \( \Rightarrow \) \( b = 12 \).

Проверка: \( 4 \cdot 1,5 + 4 \cdot (-4,5) = 6 — 18 = -12 = -b \) ✓

Для второго случая: \( 4,5 + (-1,5) = -\frac{b}{4} \) \( \Rightarrow \) \( 3 = -\frac{b}{4} \) \( \Rightarrow \) \( b = -12 \).

Проверка: \( 4 \cdot (-1,5) + 4 \cdot 4,5 = -6 + 18 = 12 = -b \) ✓

Ответ: \( b = \pm 12 \).

Дано квадратное уравнение \( 4x^2 + bx — 27 = 0 \). Для решения этой задачи необходимо найти значение параметра \( b \), при котором корни уравнения удовлетворяют определённому условию. Сначала упростим уравнение, разделив все его члены на 4, получим \( x^2 + \frac{b}{4}x — \frac{27}{4} = 0 \). Это преобразование позволяет нам работать с приведённым квадратным уравнением, для которого удобнее применять теорему Виета. Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, что будет ключевым инструментом в нашем решении.

Из условия задачи предполагаем, что отношение корней равно \( \frac{x_1}{x_2} = -3 \), откуда следует, что \( x_1 = -3x_2 \). Это предположение основано на анализе исходного уравнения и позволяет нам установить связь между двумя корнями. Применим теорему Виета для произведения корней: \( x_1 x_2 = -\frac{27}{4} \). Подставим выражение \( x_1 = -3x_2 \) в формулу произведения: \( -3x_2 \cdot x_2 = -\frac{27}{4} \). Упростим полученное уравнение: \( -3x_2^2 = -\frac{27}{4} \). Разделим обе части на \( -3 \): \( x_2^2 = \frac{27}{4 \cdot 3} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} = 2,25 \). Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения: \( x_2 = 1,5 \) или \( x_2 = -1,5 \).

Рассмотрим первый случай, когда \( x_2 = 1,5 \). Тогда первый корень равен \( x_1 = -3 \cdot 1,5 = -4,5 \). Проверим произведение корней: \( x_1 x_2 = -4,5 \cdot 1,5 = -6,75 = -\frac{27}{4} \). Это подтверждает корректность наших вычислений. Теперь применим теорему Виета для суммы корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{4} \). Подставим найденные значения: \( -4,5 + 1,5 = -\frac{b}{4} \), откуда \( -3 = -\frac{b}{4} \). Умножим обе части на \( -4 \): \( b = 12 \). Проверим результат, используя альтернативный подход: \( 4x_1 + 4x_2 = -b \), то есть \( 4 \cdot (-4,5) + 4 \cdot 1,5 = -18 + 6 = -12 = -b \), откуда \( b = 12 \).

Рассмотрим второй случай, когда \( x_2 = -1,5 \). Тогда первый корень равен \( x_1 = -3 \cdot (-1,5) = 4,5 \). Проверим произведение корней: \( x_1 x_2 = 4,5 \cdot (-1,5) = -6,75 = -\frac{27}{4} \). Это также подтверждает корректность вычислений. Применим теорему Виета для суммы корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{4} \). Подставим найденные значения: \( 4,5 + (-1,5) = -\frac{b}{4} \), откуда \( 3 = -\frac{b}{4} \). Умножим обе части на \( -4 \): \( b = -12 \). Проверим результат альтернативным методом: \( 4x_1 + 4x_2 = -b \), то есть \( 4 \cdot 4,5 + 4 \cdot (-1,5) = 18 — 6 = 12 = -b \), откуда \( b = -12 \).

Таким образом, мы получили два значения параметра \( b \), которые удовлетворяют условию задачи. Оба значения являются допустимыми решениями, так как они соответствуют двум различным парам корней, удовлетворяющим заданному отношению. При \( b = 12 \) корни уравнения равны \( x_1 = -4,5 \) и \( x_2 = 1,5 \), при \( b = -12 \) корни равны \( x_1 = 4,5 \) и \( x_2 = -1,5 \). В обоих случаях отношение \( \frac{x_1}{x_2} = -3 \) сохраняется, и произведение корней равно \( -\frac{27}{4} \). Окончательный ответ: \( b = \pm 12 \).