Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 772 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Квадрат разности корней уравнения \( x^2 + px + 90 = 0 \) равен 81. Найдите \( p \).
Дано уравнение \( x^2 + px + 90 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( (x_1 — x_2)^2 = 81 \).
По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = p \) и \( x_1 x_2 = 90 \).
Раскроем условие \( (x_1 — x_2)^2 = 81 \):
\( x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = 81 \)
\( (x_1 + x_2)^2 — 4x_1x_2 = 81 \)
\( p^2 — 4 \cdot 90 = 81 \)
\( p^2 — 360 = 81 \)
\( p^2 = 441 \)
\( p = \pm 21 \)
Ответ: \( p = \pm 21 \)
Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + px + 90 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). По условию задачи известно, что разность корней в квадрате равна 81, то есть \( (x_1 — x_2)^2 = 81 \). Требуется найти параметр \( p \), который является суммой корней уравнения. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, а также алгебраическими преобразованиями.
По теореме Виета для уравнения \( x^2 + px + 90 = 0 \) справедливы следующие соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -\frac{p}{1} = p \) (с противоположным знаком коэффициента при \( x \)), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = 90 \) (свободному члену). Эти два соотношения являются ключевыми для решения задачи, так как они позволяют выразить неизвестный параметр \( p \) через известные величины.
Раскроем выражение \( (x_1 — x_2)^2 = 81 \) путём применения формулы разности квадратов. Получаем: \( x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = 81 \). Это выражение можно переписать, заметив, что \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 \). Подставляя эту формулу, получаем: \( (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 — 2x_1x_2 = 81 \), что упрощается до \( (x_1 + x_2)^2 — 4x_1x_2 = 81 \). Это соотношение связывает сумму и произведение корней через известное нам значение 81.
Теперь подставим значения из теоремы Виета в полученное соотношение. Вместо \( x_1 + x_2 \) подставляем \( p \), а вместо \( x_1 x_2 \) подставляем 90. Получаем уравнение: \( p^2 — 4 \cdot 90 = 81 \). Упростим это выражение: \( p^2 — 360 = 81 \). Перенесём 360 в правую часть уравнения с противоположным знаком: \( p^2 = 81 + 360 \). Вычислим сумму: \( p^2 = 441 \).
Для нахождения значения \( p \) извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку \( 441 = 21^2 \), то \( p = \pm\sqrt{441} = \pm 21 \). Получаем два возможных значения параметра: \( p = 21 \) или \( p = -21 \). Оба значения являются допустимыми, так как при каждом из них исходное квадратное уравнение имеет два действительных корня, разность которых в квадрате равна 81. Таким образом, окончательный ответ: \( p = \pm 21 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!