ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 772 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Квадрат разности корней уравнения \( x^2 + px + 90 = 0 \) равен 81. Найдите \( p \).

Дано уравнение \( x^2 + px + 90 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \), где \( (x_1 — x_2)^2 = 81 \).

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = p \) и \( x_1 x_2 = 90 \).

Раскроем условие \( (x_1 — x_2)^2 = 81 \):

\( x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = 81 \)

\( (x_1 + x_2)^2 — 4x_1x_2 = 81 \)

\( p^2 — 4 \cdot 90 = 81 \)

\( p^2 — 360 = 81 \)

\( p^2 = 441 \)

\( p = \pm 21 \)

Ответ: \( p = \pm 21 \)

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 + px + 90 = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). По условию задачи известно, что разность корней в квадрате равна 81, то есть \( (x_1 — x_2)^2 = 81 \). Требуется найти параметр \( p \), который является суммой корней уравнения. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета, которая устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, а также алгебраическими преобразованиями.

По теореме Виета для уравнения \( x^2 + px + 90 = 0 \) справедливы следующие соотношения: сумма корней равна \( x_1 + x_2 = -\frac{p}{1} = p \) (с противоположным знаком коэффициента при \( x \)), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = 90 \) (свободному члену). Эти два соотношения являются ключевыми для решения задачи, так как они позволяют выразить неизвестный параметр \( p \) через известные величины.

Раскроем выражение \( (x_1 — x_2)^2 = 81 \) путём применения формулы разности квадратов. Получаем: \( x_1^2 — 2x_1x_2 + x_2^2 = 81 \). Это выражение можно переписать, заметив, что \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 \). Подставляя эту формулу, получаем: \( (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 — 2x_1x_2 = 81 \), что упрощается до \( (x_1 + x_2)^2 — 4x_1x_2 = 81 \). Это соотношение связывает сумму и произведение корней через известное нам значение 81.

Теперь подставим значения из теоремы Виета в полученное соотношение. Вместо \( x_1 + x_2 \) подставляем \( p \), а вместо \( x_1 x_2 \) подставляем 90. Получаем уравнение: \( p^2 — 4 \cdot 90 = 81 \). Упростим это выражение: \( p^2 — 360 = 81 \). Перенесём 360 в правую часть уравнения с противоположным знаком: \( p^2 = 81 + 360 \). Вычислим сумму: \( p^2 = 441 \).

Для нахождения значения \( p \) извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку \( 441 = 21^2 \), то \( p = \pm\sqrt{441} = \pm 21 \). Получаем два возможных значения параметра: \( p = 21 \) или \( p = -21 \). Оба значения являются допустимыми, так как при каждом из них исходное квадратное уравнение имеет два действительных корня, разность которых в квадрате равна 81. Таким образом, окончательный ответ: \( p = \pm 21 \).