ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 773 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разность квадратов корней уравнения \( 2x^2 — 5x + c = 0 \) равна 0,25. Найдите \( c \).

Дано уравнение \( 2x^2 — 5x + c = 0 \). Разделим на 2: \( x^2 — 2,5x + \frac{c}{2} = 0 \).

По теореме Виета для корней \( x_1 \) и \( x_2 \):
\( x_1 + x_2 = 2,5 \) и \( x_1 x_2 = \frac{c}{2} \).

Из условия \( x_1^2 — x_2^2 = 0,25 \) получаем:
\( (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) = 0,25 \).

Подставляя \( x_1 + x_2 = 2,5 \):
\( (x_1 — x_2) \cdot 2,5 = 0,25 \).

\( x_1 — x_2 = 0,1 \).

Решаем систему:
\( x_1 + x_2 = 2,5 \) и \( x_1 — x_2 = 0,1 \).

Складывая: \( 2x_1 = 2,6 \), откуда \( x_1 = 1,3 \).

Вычитая: \( 2x_2 = 2,4 \), откуда \( x_2 = 1,2 \).

Находим \( c \):
\( 2x_1 x_2 = c \).

\( 2 \cdot 1,3 \cdot 1,2 = c \).

\( c = 3,12 \).

Ответ: \( c = 3,12 \).

Дано квадратное уравнение \( 2x^2 — 5x + c = 0 \), и требуется найти значение параметра \( c \), при условии что разность квадратов корней равна \( 0,25 \). Для решения этой задачи используем теорему Виета, которая связывает коэффициенты уравнения с суммой и произведением его корней. Сначала приведём уравнение к стандартному виду, разделив обе части на коэффициент при \( x^2 \), то есть на 2. Получаем \( x^2 — 2,5x + \frac{c}{2} = 0 \). По теореме Виета для этого уравнения сумма корней равна \( x_1 + x_2 = 2,5 \), а произведение корней равно \( x_1 x_2 = \frac{c}{2} \). Эти соотношения будут основой для дальнейших вычислений.

Используя условие задачи о том, что \( x_1^2 — x_2^2 = 0,25 \), применим формулу разности квадратов. Разность квадратов двух чисел раскладывается как \( x_1^2 — x_2^2 = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) \). Подставляя известное значение суммы корней, получаем \( (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) = 0,25 \), откуда \( (x_1 — x_2) \cdot 2,5 = 0,25 \). Разделив обе части на 2,5, находим разность корней: \( x_1 — x_2 = \frac{0,25}{2,5} = 0,1 \). Теперь у нас есть два уравнения: сумма корней \( x_1 + x_2 = 2,5 \) и их разность \( x_1 — x_2 = 0,1 \). Это система линейных уравнений, которую решаем стандартным методом сложения и вычитания.

Складывая уравнения \( x_1 + x_2 = 2,5 \) и \( x_1 — x_2 = 0,1 \), получаем \( 2x_1 = 2,6 \), откуда \( x_1 = 1,3 \). Вычитая второе уравнение из первого, получаем \( 2x_2 = 2,4 \), откуда \( x_2 = 1,2 \). Проверим полученные значения: сумма \( 1,3 + 1,2 = 2,5 \) верна, разность \( 1,3 — 1,2 = 0,1 \) верна, разность квадратов \( 1,3^2 — 1,2^2 = 1,69 — 1,44 = 0,25 \) верна. Все условия задачи выполнены.

Теперь находим значение параметра \( c \) через произведение корней. Из теоремы Виета известно, что \( x_1 x_2 = \frac{c}{2} \), следовательно \( c = 2x_1 x_2 \). Подставляя найденные значения корней, получаем \( c = 2 \cdot 1,3 \cdot 1,2 \). Вычислим произведение: \( 1,3 \cdot 1,2 = 1,56 \), тогда \( c = 2 \cdot 1,56 = 3,12 \). Таким образом, параметр \( c \) равен \( 3,12 \). Проверим результат, подставив найденное значение в исходное уравнение: \( 2x^2 — 5x + 3,12 = 0 \). Корни этого уравнения должны быть \( 1,3 \) и \( 1,2 \), что можно проверить подстановкой или через дискриминант.