ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 774 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Один из корней уравнения \( 4x^2 + bx + c = 0 \) равен 0,5, а другой — свободному члену. Найдите \( b \) и \( c \).

Дано уравнение \( 4x^2 + bx + c = 0 \), которое можно переписать как \( x^2 + \frac{b}{4}x + \frac{c}{4} = 0 \).

По теореме Виета для этого уравнения:
\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{4} \) и \( x_1 x_2 = \frac{c}{4} \)

Из условия известно, что один из корней равен \( 0,5 \):

\( 0,5 + x_2 = -\frac{b}{4} \) и \( 0,5 \cdot x_2 = \frac{c}{4} \)

Из второго уравнения: \( x_2 = \frac{c}{2} \)

Подставляем в первое уравнение:
\( 0,5 + \frac{c}{2} = -\frac{b}{4} \)

Умножаем на 4:
\( 2 + 2c = -b \) \Rightarrow \( 2 + 4c = -b \)

Из условия \( 0,5 \cdot x_2 = \frac{c}{4} \) получаем \( x_2 = \frac{c}{2} \), откуда \( 2x_2 = c \)

Подставляя \( x_2 = 0,5 \): \( c = 2 \cdot 0,5 = 1 \)

Нет, пересчитаем. Из \( 0,5c = \frac{c}{4} \) получаем \( c = 0 \)

Тогда из \( 2 + 4c = -b \): \( 2 + 0 = -b \) \Rightarrow \( b = -2 \)

Ответ: \( c = 0, b = -2 \)

Рассмотрим квадратное уравнение \( 4x^2 + bx + c = 0 \), которое необходимо решить, найдя значения коэффициентов \( b \) и \( c \). Для удобства работы разделим все члены уравнения на 4 и получим приведённое квадратное уравнение \( x^2 + \frac{b}{4}x + \frac{c}{4} = 0 \). Это преобразование позволяет нам применить теорему Виета в стандартном виде, которая устанавливает связь между корнями уравнения и его коэффициентами. По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения вида \( x^2 + px + q = 0 \) сумма корней равна \( -p \), а произведение корней равно \( q \). В нашем случае это означает, что \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{4} \) и \( x_1 x_2 = \frac{c}{4} \).

Из условия задачи известно, что один из корней уравнения равен \( 0,5 \). Обозначим этот корень как \( x_1 = 0,5 \), а второй корень как \( x_2 \). Подставляя известное значение в формулы Виета, получаем систему двух уравнений: \( 0,5 + x_2 = -\frac{b}{4} \) и \( 0,5 \cdot x_2 = \frac{c}{4} \). Из второго уравнения системы можно выразить второй корень через коэффициент \( c \): \( x_2 = \frac{c}{4 \cdot 0,5} = \frac{c}{2} \). Это выражение показывает прямую зависимость между вторым корнем и коэффициентом \( c \), что позволит нам найти оба неизвестных коэффициента.

Подставим найденное выражение для \( x_2 \) в первое уравнение системы: \( 0,5 + \frac{c}{2} = -\frac{b}{4} \). Умножим обе части этого уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей: \( 2 + 2c = -b \), откуда получаем \( 2 + 4c = -b \) после переработки. Однако заметим, что из условия \( 0,5 \cdot x_2 = \frac{c}{4} \) следует \( 0,5c = \frac{c}{4} \), что возможно только при \( c = 0 \). Это ключевое наблюдение: приравняв \( 0,5c \) к \( \frac{c}{4} \), мы получаем уравнение \( 0,5c = \frac{c}{4} \), которое преобразуется в \( 2c = c \), а это справедливо только когда \( c = 0 \).

Подставляя найденное значение \( c = 0 \) в уравнение \( 2 + 4c = -b \), получаем \( 2 + 4 \cdot 0 = -b \), откуда \( 2 = -b \) и, следовательно, \( b = -2 \). Проверим полученный результат: исходное уравнение принимает вид \( 4x^2 — 2x + 0 = 0 \), или \( 4x^2 — 2x = 0 \), что можно разложить как \( 2x(2x — 1) = 0 \). Отсюда следует, что корни уравнения равны \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 0,5 \). Действительно, один из корней равен \( 0,5 \), что соответствует условию задачи. Применяя теорему Виета к найденному уравнению: сумма корней \( 0 + 0,5 = 0,5 = -\frac{-2}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \) верна, и произведение корней \( 0 \cdot 0,5 = 0 = \frac{0}{4} \) также верно.

Таким образом, решение задачи завершено. Коэффициент \( c = 0 \) и коэффициент \( b = -2 \) являются искомыми значениями, которые удовлетворяют всем условиям задачи и обеспечивают наличие корня \( 0,5 \) в исходном квадратном уравнении \( 4x^2 + bx + c = 0 \).